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PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 168 do ENEM 2023

2º dia · Matemática · H28 · Matemática: Eventos sucessivos e distribuição binomial

Em um colégio público, a admissão no primeiro ano se dá por sorteio. Neste ano há 55 candidatos, cujas inscrições são numeradas de 01 a 55. O sorteio de cada número de inscrição será realizado em etapas, utilizando-se duas urnas. Da primeira urna será sorteada uma bola, dentre bolas numeradas de 0 a 9, que representará o algarismo das unidades do número de inscrição a ser sorteado e, em seguida, da segunda urna, será sorteada uma bola para representar o algarismo das dezenas desse número. Depois do primeiro sorteio, e antes de se sortear o algarismo das dezenas, as bolas que estarão presentes na segunda urna serão apenas aquelas cujos números formam, com o algarismo já sorteado, um número de 01 a 55.

As probabilidades de os candidatos de inscrição número 50 e 02 serem sorteados são, respectivamente,

  1. A
    \dfrac{1}{50} e \dfrac{1}{60}
  2. B
    \dfrac{1}{50} e \dfrac{1}{50}
  3. C
    \dfrac{1}{50} e \dfrac{1}{10}
  4. D
    \dfrac{1}{55} e \dfrac{1}{54}
  5. E
    \dfrac{1}{100} e \dfrac{1}{100}
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Resolução comentada

O sorteio ocorre em duas etapas, e a probabilidade de sair um número é o produto das probabilidades de cada etapa (eventos sucessivos).

Primeira etapa (unidades): a urna tem 10 bolas, de 0 a 9, todas com a mesma chance. Logo, cada algarismo sai com probabilidade \frac{1}{10}.

Segunda etapa (dezenas): só ficam as bolas que formam, com a unidade sorteada, um número de 01 a 55.

Número 50:

  1. Unidade 0: \frac{1}{10}.
  2. Com unidade 0, os números válidos são 10, 20, 30, 40 e 50. O 00 não vale, pois as inscrições começam em 01. Ficam as bolas 1, 2, 3, 4 e 5, ou seja, 5 bolas.
  3. Dezena 5: \frac{1}{5}.
  4. Probabilidade: \frac{1}{10}\cdot\frac{1}{5}=\frac{1}{50}.

Número 02:

  1. Unidade 2: \frac{1}{10}.
  2. Com unidade 2, os números válidos são 02, 12, 22, 32, 42 e 52. Todos estão entre 01 e 55, então ficam as bolas 0, 1, 2, 3, 4 e 5, ou seja, 6 bolas.
  3. Dezena 0: \frac{1}{6}.
  4. Probabilidade: \frac{1}{10}\cdot\frac{1}{6}=\frac{1}{60}.

As probabilidades são \frac{1}{50} e \frac{1}{60}.

Alternativa A.

Pegadinha: A alternativa B engana quem acha que todos os números têm a mesma probabilidade; como o número de bolas na segunda urna depende da unidade sorteada, as chances diferem.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • Bconsidera \frac{1}{50} também para o 02, esquecendo que com unidade 2 restam 6 bolas na segunda urna, não 5.
  • Cusa \frac{1}{10} para o 02, ignorando a segunda etapa do sorteio.
  • Dtrata como sorteio simples entre 55 candidatos, ignorando que o processo em duas urnas não é uniforme.
  • Esupõe 100 números equiprováveis (00 a 99), desconsiderando a restrição de 01 a 55 na segunda urna.

Assunto: Eventos sucessivos e distribuição binomial.

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