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PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 152 do ENEM 2023

2º dia · Matemática · H22 · Matemática: Logaritmos e função logarítmica

A exposição a alguns níveis sonoros pode causar lesões auditivas. Por isso, em uma indústria, são adotadas medidas preventivas de acordo com a máquina que o funcionário opera e o nível N de intensidade do som, medido em decibel (dB), a que o operário é exposto, sendo N = \text{log}_{10}I^{10} - \text{log}_{10}I_0^{10}, I a intensidade do som e I_0 = 10^{-12}\text{ W/m}^2.

Disponível em: www.sofisica.com.br. Acesso em: 8 jul. 2015 (adaptado).

Quando o som é considerado baixo, ou seja, N = 48\text{ dB} ou menos, deve ser utilizada a medida preventiva I. No caso de o som ser moderado, quando N está no intervalo (48 dB, 55 dB), deve ser utilizada a medida preventiva II. Quando o som é moderado alto, que equivale a N no intervalo (55 dB, 80 dB), a medida preventiva a ser usada é a III. Se N estiver no intervalo (80 dB, 115 dB), quando o som é considerado alto, deve ser utilizada a medida preventiva IV. E se o som é considerado muito alto, com N maior que 115 dB, deve-se utilizar a medida preventiva V.

Uma nova máquina, com I = 8 \times 10^{-8}\text{ W/m}^2, foi adquirida e será classificada de acordo com o nível de ruído que produz.

Considere 0,3 como aproximação para \text{log}_{10}2.

O funcionário que operará a nova máquina deverá adotar a medida preventiva

  1. A
    I.
  2. B
    II.
  3. C
    III.
  4. D
    IV.
  5. E
    V.
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Resolução comentada

O nível sonoro é N = \log_{10} I^{10} - \log_{10} I_0^{10}. Pela propriedade do expoente, \log a^{10} = 10\log a. Então:

N = 10(\log I - \log I_0) = 10\log\frac{I}{I_0}

  1. Calcule a razão: \dfrac{I}{I_0} = \dfrac{8\times 10^{-8}}{10^{-12}} = 8\times 10^{4}.

  2. Aplique o logaritmo: \log(8\times10^4) = \log 8 + \log 10^4 = 3\log 2 + 4.

  3. Use \log 2 = 0{,}3: 3\cdot 0{,}3 + 4 = 4{,}9.

  4. Multiplique por 10: N = 10\cdot 4{,}9 = 49\ \text{dB}.

Agora compare com as faixas do enunciado: som baixo é N \le 48 dB; som moderado é 48 < N < 55 dB, com medida preventiva II. Como 48 < 49 < 55, o som é moderado.

Alternativa B.

Pegadinha: O resultado, 49 dB, está apenas 1 dB acima do limite de 48 dB; um erro pequeno na conta (como usar \log 8 incorreto) leva à alternativa A.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • Aexigiria N \le 48 dB, mas o nível calculado é 49 dB, acima desse limite.
  • Cexigiria N entre 55 e 80 dB, o que não ocorre com 49 dB.
  • Dexigiria N entre 80 e 115 dB; só se chegaria aí errando a conta do logaritmo.
  • Eexigiria N > 115 dB, muito acima do valor real de 49 dB.

Assuntos: Logaritmos e função logarítmica, Notação científica e ordem de grandeza.

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