Correção ENEM 2026Confira suas respostas do 1º dia com o gabarito dos cursinhos e a resolução das questões, até o INEP publicar o oficialVer a correção
Entrar

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 146 do ENEM 2023

2º dia · Matemática · H4 · Matemática: Progressão aritmética

O triângulo da figura é denominado triângulo mágico. Nos círculos, escrevem-se os números de 1 a 6, sem repetição, com um número em cada círculo. O objetivo é distribuir os números de forma que as somas dos números em cada lado do triângulo sejam iguais.

Esquema de um triângulo mágico composto por seis círculos em branco conectados por segmentos de reta: três círculos nos vértices e um círculo intermediário em cada um dos três lados.

Considere que os números colocados nos vértices do triângulo estejam em progressão aritmética de razão igual a 2.

Nas condições propostas, quais as possíveis soluções para as somas dos números que formam os lados do triângulo?

  1. A
    Há somente uma solução possível, e as somas em cada lado do triângulo são iguais a 7.
  2. B
    Há somente uma solução possível, e as somas em cada lado do triângulo são iguais a 9.
  3. C
    Há somente duas soluções possíveis, uma em que as somas em cada lado do triângulo são iguais a 7 e outra em que as somas são iguais a 9.
  4. D
    Há somente duas soluções possíveis, uma em que as somas em cada lado do triângulo são iguais a 9 e outra em que as somas são iguais a 12.
  5. E
    Há somente duas soluções possíveis, uma em que as somas em cada lado do triângulo são iguais a 10 e outra em que as somas são iguais a 11.
Escolha uma alternativa para conferir o gabarito.
Reportar erro na questão
O que está errado?
Sem cadastro: não guardamos quem enviou.
Resolução comentada

Vértices a, b, c em PA de razão 2: x, x+2, x+4, todos entre 1 e 6. As possibilidades são \{1,3,5\} e \{2,4,6\}. (A ordem dos vértices não muda a soma, pois a PA pode ser lida em qualquer sentido.)

Seja S a soma de cada lado e m_1, m_2, m_3 os números do meio dos lados. Somando os três lados, cada vértice é contado duas vezes:

3S = 2(\text{soma dos vértices}) + (\text{soma dos meios}) = (\text{soma de 1 a 6}) + (\text{soma dos vértices}) = 21 + V

  1. Vértices \{1,3,5\}: V=9, então 3S=30 e S=10. Os meios são 2,4,6. O lado entre 1 e 3 precisa de 10-4=6; entre 3 e 5, de 10-8=2; entre 1 e 5, de 10-6=4. Os valores 6, 2 e 4 são exatamente os disponíveis. Funciona: S=10.

  2. Vértices \{2,4,6\}: V=12, então 3S=33 e S=11. Os meios são 1,3,5. Lado 2 e 4: 11-6=5; lado 4 e 6: 11-10=1; lado 2 e 6: 11-8=3. Os valores 5, 1 e 3 estão disponíveis. Funciona: S=11.

Portanto há duas soluções, com somas 10 e 11.

Alternativa E.

Pegadinha: A alternativa D engana porque 9 e 12 são as somas dos vértices das duas PAs, não as somas dos lados.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • ASó há uma solução e soma 7 não é possível: a soma dos lados vem de 3S=21+V.
  • BSoma 9 não satisfaz 3S=21+V para nenhuma PA de razão 2 e ignora a segunda solução.
  • CSomas 7 e 9 não resultam de 3S=21+V com V=9 ou V=12.
  • DSomas 9 e 12 confundem a soma dos vértices (9 e 12) com a soma dos lados.

Assunto: Progressão aritmética.

Reportar erro na resolução
O que está errado?
Sem cadastro: não guardamos quem enviou.
Ver como caiu na prova Questão 146 no caderno Azul do ENEM 2023

Nos cadernos: Amarelo 148Cinza 149Azul 146Rosa 170