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PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 145 do ENEM 2023

2º dia · Matemática · H9 · Matemática: Circunferência: ângulos, cordas e tangência

Num certo momento de um jogo digital, a tela apresenta a imagem representada na figura. O ponto Q_1 representa a posição de um jogador que está com a bola, os pontos Q_2, Q_3, Q_4, Q_5 e Q_6 também indicam posições de jogadores da mesma equipe, e os pontos A e B indicam os dois pés da trave mais próxima deles. No momento da partida retratado, o jogador Q_1 tem a posse da bola, que será passada para um dos outros jogadores das posições Q_n, n \in \{2, 3, 4, 5, 6\}, cujo ângulo A\widehat{Q_n}B tenha a mesma medida do ângulo \alpha = A\widehat{Q_1}B.

Campo de futebol com a trave à esquerda, cujos pés são A e B, e as posições dos jogadores Q₁, Q₂, Q₃, Q₄, Q₅ e Q₆ marcadas por pontos. Segmentos tracejados ligam A e B a Q₁, formando o ângulo α destacado em amarelo; arcos tracejados passam pelas posições dos jogadores.

Qual é o jogador que receberá a bola?

  1. A
    Q_2
  2. B
    Q_3
  3. C
    Q_4
  4. D
    Q_5
  5. E
    Q_6
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Resolução comentada

Pelo teorema do ângulo inscrito, todos os pontos de um mesmo arco de circunferência que passa por A e B enxergam o segmento AB sob o mesmo ângulo. Então o jogador que receberá a bola é o que está sobre o mesmo arco que Q_1.

Para achar esse arco, use as coordenadas aproximadas da figura, em pixels: A(26,150), B(28,285) e Q_1(318,313).

  1. O centro está na mediatriz de AB, ou seja, em y\approx 217{,}5. Chame o centro de (h;\,217{,}5).
  2. Igualando as distâncias a A e a Q_1: (h-26)^2+67{,}5^2=(h-318)^2+95{,}5^2, o que dá h\approx 180.
  3. O raio é r\approx\sqrt{154^2+67{,}5^2}\approx 168.
  4. Testando os outros jogadores, a distância de cada um ao centro deve ser igual a 168:
  • Q_3(272,75): \sqrt{92^2+142{,}5^2}\approx 170, que coincide com o raio.
  • Q_5(366,303): distância \approx 205, fora do arco.
  • Q_6(375,375): distância \approx 250, fora do arco.
  • Q_2 e Q_4: distâncias bem menores que 168, dentro do arco.

Só Q_3 está sobre a mesma circunferência de Q_1, então A\widehat{Q_3}B=\alpha.

Alternativa B.

Pegadinha: Q_5 é o jogador mais próximo de Q_1, o que engana quem escolhe por proximidade visual; o que vale é estar sobre o mesmo arco.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • AQ_2 está sobre um arco menor, mais próximo da trave, e vê AB sob um ângulo maior que \alpha.
  • CQ_4 está no arco mais interno, com ângulo bem maior que \alpha.
  • DQ_5 parece próximo de Q_1, mas está fora do arco de Q_1 e vê AB sob um ângulo menor.
  • EQ_6 está sobre um arco maior, externo ao de Q_1, e vê AB sob um ângulo menor que \alpha.

Assunto: Circunferência: ângulos, cordas e tangência.

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