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PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 136 do ENEM 2023

2º dia · Matemática · H8 · Matemática: Cone e tronco de cone

Um artista plástico esculpe uma escultura a partir de um bloco de madeira de lei, em etapas. Inicialmente, esculpe um cone reto com 36 cm de altura e diâmetro da base medindo 18 cm. Em seguida, remove desse cone um cone menor, cujo diâmetro da base mede 6 cm, obtendo, assim, um tronco de cone, conforme ilustrado na figura.

Cone reto com 36 cm de altura e diâmetro da base de 18 cm, com indicação do corte superior de um cone menor de base com 6 cm de diâmetro Seta verde apontando para o tronco de cone com uma perfuração cilíndrica central de base a base

Em seguida, perfura esse tronco de cone, removendo um cilindro reto, de diâmetro 6 cm, cujo eixo de simetria é o mesmo do cone original. Dessa forma, ao final, a escultura tem a forma de um tronco de cone com uma perfuração cilíndrica de base a base.

O tipo de madeira utilizada para produzir essa escultura tem massa igual a 0,6 g por centímetro cúbico de volume. Utilize 3 como aproximação para \pi.

Qual é a massa, em grama, dessa escultura?

  1. A
    1\,198{,}8
  2. B
    1\,296{,}0
  3. C
    1\,360{,}8
  4. D
    4\,665{,}6
  5. E
    4\,860{,}0
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Resolução comentada

Cone original: altura 36 cm, raio da base 9 cm. O cone menor removido tem raio 3 cm e é semelhante ao original, então a razão de semelhança é 3/9 = 1/3. Sua altura é 36/3 = 12 cm. O tronco tem, portanto, altura 36 - 12 = 24 cm.

  1. Volume do cone grande: V = \frac{1}{3}\cdot 3\cdot 9^2\cdot 36 = 81\cdot 36 = 2\,916\ \text{cm}^3.
  2. Volume do cone menor: V = \frac{1}{3}\cdot 3\cdot 3^2\cdot 12 = 108\ \text{cm}^3.
  3. Volume do tronco: 2\,916 - 108 = 2\,808\ \text{cm}^3.

O cilindro removido tem diâmetro 6 cm (raio 3 cm) e vai de base a base do tronco, então sua altura é 24 cm:

  1. Volume do cilindro: 3\cdot 3^2\cdot 24 = 648\ \text{cm}^3.
  2. Volume da escultura: 2\,808 - 648 = 2\,160\ \text{cm}^3.

Como a densidade é 0{,}6\ \text{g/cm}^3:

  1. Massa: 2\,160\cdot 0{,}6 = 1\,296\ \text{g}.

Alternativa B.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • AErra o volume final (por exemplo, usa altura incorreta para o cilindro ou o tronco), chegando a 1 998 cm³ em vez de 2 160 cm³.
  • CUsa um volume removido ou um volume do tronco incorreto, resultando em 2 268 cm³ em vez de 2 160 cm³.
  • DEsquece de remover o cilindro e/ou de multiplicar pela densidade de forma correta; aproxima-se do tronco sem perfuração (2 808 × 0,6 ≈ 1 685), não de 4 665,6, que resulta de outro erro de volume.
  • EUsa o cone inteiro (2 916 cm³) multiplicado por 0,6 = 1 749,6? Não: 4 860 = 8 100 × 0,6, resultado de erro grosseiro no volume, sem usar a semelhança.

Assuntos: Cone e tronco de cone, Razões especiais: velocidade, densidade e vazão, Cilindro.

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