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PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 176 do ENEM 2022

2º dia · Matemática · H9 · Matemática: Ponto e reta no plano cartesiano

O governo de um estado pretende realizar uma obra de infraestrutura para auxiliar na integração e no processo de escoamento da produção agrícola de duas cidades. O projeto consiste na interligação direta das cidades A e B com a Rodovia 003, pela construção das Rodovias 001 e 002. As duas rodovias serão construídas em linha reta e deverão se conectar à Rodovia 003 em um mesmo ponto, conforme esboço apresentado na figura, na qual estão também indicadas as posições das cidades A e B, considerando o eixo x posicionado sobre a Rodovia 003, e cinco localizações sugeridas para o ponto de conexão entre as três rodovias.

Gráfico no plano cartesiano mostrando os eixos x (km) e y (km). A Rodovia 003 está sobre o eixo x. A Cidade A está localizada em (20, 40) e a Cidade B em (50, 20). No eixo x, há cinco pontos de conexão propostos: I em (20, 0), II em (30, 0), III em (35, 0), IV em (40, 0) e V em (50, 0). Linhas tracejadas ligam a Cidade A a cada ponto (Rodovia 001) e linhas contínuas ligam a Cidade B a cada ponto (Rodovia 002).

Pretende-se que a distância percorrida entre as duas cidades, pelas Rodovias 001 e 002, passando pelo ponto de conexão, seja a menor possível.

Dadas as exigências do projeto, qual das localizações sugeridas deve ser a escolhida para o ponto de conexão?

  1. A
    I
  2. B
    II
  3. C
    III
  4. D
    IV
  5. E
    V
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Resolução comentada

O caminho mínimo entre dois pontos que precisam passar por uma reta é dado pela reflexão: refletimos uma das cidades em relação à Rodovia 003 (eixo x) e ligamos os dois pontos por uma reta. O ponto onde essa reta cruza o eixo é o ponto de conexão ideal, pois o trajeto vira um segmento reto.

  1. Refletindo B (50,20) no eixo x, obtemos B'(50,-20).
  2. A reta de A(20,40) até B'(50,-20) tem coeficiente angular m=\frac{-20-40}{50-20}=\frac{-60}{30}=-2.
  3. Equação: y-40=-2(x-20).
  4. Cruzando o eixo x (y=0): -40=-2(x-20), logo x-20=20 e x=40.

O ponto de conexão é (40,0), que é o ponto IV.

Conferindo pelas distâncias, com d=\sqrt{(x-20)^2+40^2}+\sqrt{(50-x)^2+20^2}:

  • x=35: \sqrt{225+1600}+\sqrt{225+400}\approx 42{,}7+25=67{,}7.
  • x=40: \sqrt{400+1600}+\sqrt{100+400}\approx 44{,}7+22{,}4=67{,}1.
  • x=50: \sqrt{900+1600}+20=70.

O menor valor é em x=40, confirmando.

Alternativa D.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • AO ponto (20,0) está logo abaixo de A, mas dá trajeto total de 40+\sqrt{900+400}\approx 76 km, bem maior.
  • BEm x=30 o total é cerca de 41{,}2+28{,}3\approx 69{,}5 km, maior que em x=40.
  • CEm x=35 o total é cerca de 67{,}7 km, ligeiramente maior que em x=40 (67{,}1 km).
  • EO ponto (50,0) fica abaixo de B e dá total de 70 km, maior que o mínimo.

Assunto: Ponto e reta no plano cartesiano.

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