Questão 169 do ENEM 2022

Question

Uma loja comercializa cinco modelos de caixas-d’água (I, II, III, IV e V), todos em formato de cilindro reto de base circular. Os modelos II, III, IV e V têm as especificações de suas dimensões dadas em relação às dimensões do modelo I, cuja profundidade é P e área da base é A_{\text{b}}, como segue:

modelo II: o dobro da profundidade e a metade da área da base do modelo I;
modelo III: o dobro da profundidade e a metade do raio da base do modelo I;
modelo IV: a metade da profundidade e o dobro da área da base do modelo I;
modelo V: a metade da profundidade e o dobro do raio da base do modelo I.

Uma pessoa pretende comprar nessa loja o modelo de caixa-d’água que ofereça a maior capacidade volumétrica.

O modelo escolhido deve ser o

A
I.
B
II.
C
III.
D
IV.
E
V.

Answer 1

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Questão 169 do ENEM 2022

2º dia · Matemática · H9 · Matemática: Cilindro

Uma loja comercializa cinco modelos de caixas-d’água (I, II, III, IV e V), todos em formato de cilindro reto de base circular. Os modelos II, III, IV e V têm as especificações de suas dimensões dadas em relação às dimensões do modelo I, cuja profundidade é P e área da base é A_{\text{b}}, como segue:

modelo II: o dobro da profundidade e a metade da área da base do modelo I;
modelo III: o dobro da profundidade e a metade do raio da base do modelo I;
modelo IV: a metade da profundidade e o dobro da área da base do modelo I;
modelo V: a metade da profundidade e o dobro do raio da base do modelo I.

Uma pessoa pretende comprar nessa loja o modelo de caixa-d’água que ofereça a maior capacidade volumétrica.

O modelo escolhido deve ser o

A
I.
B
II.
C
III.
D
IV.
E
V.

Escolha uma alternativa para conferir o gabarito.

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Resolução comentada

O volume de um cilindro reto é V = A_b \cdot h, área da base vezes a profundidade. Tomando o modelo I como referência, V_I = A_b \cdot P.

A área da base é A_b = \pi r^2. Então, se o raio muda por um fator k, a área muda por k^2.

Modelo II: profundidade 2P e área \frac{A_b}{2}, logo V_{II} = 2P \cdot \frac{A_b}{2} = A_b P, igual ao modelo I.
Modelo III: profundidade 2P e raio \frac{r}{2}, então a área é \frac{A_b}{4}. Assim V_{III} = 2P \cdot \frac{A_b}{4} = \frac{A_b P}{2}.
Modelo IV: profundidade \frac{P}{2} e área 2A_b, logo V_{IV} = \frac{P}{2} \cdot 2A_b = A_b P, igual ao modelo I.
Modelo V: profundidade \frac{P}{2} e raio 2r, então a área é 4A_b. Assim V_V = \frac{P}{2} \cdot 4A_b = 2A_b P.

Comparando: I, II e IV valem A_bP; III vale 0{,}5\,A_bP; V vale 2\,A_bP. O maior é o modelo V.

Alternativa E.

Pegadinha: Dobrar o raio faz a área quadruplicar, não dobrar. Quem trata raio e área do mesmo jeito acha o modelo V igual ao IV, ou o III igual ao II.

Por que as outras alternativas estão erradas

AO modelo I tem volume A_bP, menor que o do modelo V, que é 2A_bP.
BDobrar a profundidade e reduzir a área à metade mantém o volume igual ao do modelo I.
CMetade do raio reduz a área a um quarto, e o volume cai para A_bP/2, o menor de todos.
DMetade da profundidade com o dobro da área mantém o volume igual ao do modelo I.

Assuntos: Cilindro, Razão e proporção.

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