Questão 155 do ENEM 2022

Question

Um prédio, com 9 andares e 8 apartamentos de 2 quartos por andar, está com todos os seus apartamentos à venda. Os apartamentos são identificados por números formados por dois algarismos, sendo que a dezena indica o andar onde se encontra o apartamento, e a unidade, um algarismo de 1 a 8, que diferencia os apartamentos de um mesmo andar. Quanto à incidência de sol nos quartos desses apartamentos, constatam-se as seguintes características, em função de seus números de identificação:

naqueles que finalizam em 1 ou 2, ambos os quartos recebem sol apenas na parte da manhã;
naqueles que finalizam em 3, 4, 5 ou 6, apenas um dos quartos recebe sol na parte da manhã;
naqueles que finalizam em 7 ou 8, ambos os quartos recebem sol apenas na parte da tarde.

Uma pessoa pretende comprar 2 desses apartamentos em um mesmo andar, mas quer que, em ambos, pelo menos um dos quartos receba sol na parte da manhã.

De quantas maneiras diferentes essa pessoa poderá escolher 2 desses apartamentos para compra nas condições desejadas?

A
9 \times \dfrac{6!}{(6-2)!}
B
9 \times \dfrac{6!}{(6-2)! \times 2!}
C
9 \times \dfrac{4!}{(4-2)! \times 2!}
D
9 \times \dfrac{2!}{(2-2)! \times 2!}
E
9 \times \left( \dfrac{8!}{(8-2)! \times 2!} - 1 \right)

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 155 do ENEM 2022

2º dia · Matemática · H2 · Matemática: Combinações e binômio de Newton

Um prédio, com 9 andares e 8 apartamentos de 2 quartos por andar, está com todos os seus apartamentos à venda. Os apartamentos são identificados por números formados por dois algarismos, sendo que a dezena indica o andar onde se encontra o apartamento, e a unidade, um algarismo de 1 a 8, que diferencia os apartamentos de um mesmo andar. Quanto à incidência de sol nos quartos desses apartamentos, constatam-se as seguintes características, em função de seus números de identificação:

naqueles que finalizam em 1 ou 2, ambos os quartos recebem sol apenas na parte da manhã;
naqueles que finalizam em 3, 4, 5 ou 6, apenas um dos quartos recebe sol na parte da manhã;
naqueles que finalizam em 7 ou 8, ambos os quartos recebem sol apenas na parte da tarde.

Uma pessoa pretende comprar 2 desses apartamentos em um mesmo andar, mas quer que, em ambos, pelo menos um dos quartos receba sol na parte da manhã.

De quantas maneiras diferentes essa pessoa poderá escolher 2 desses apartamentos para compra nas condições desejadas?

A
9 \times \dfrac{6!}{(6-2)!}
B
9 \times \dfrac{6!}{(6-2)! \times 2!}
C
9 \times \dfrac{4!}{(4-2)! \times 2!}
D
9 \times \dfrac{2!}{(2-2)! \times 2!}
E
9 \times \left( \dfrac{8!}{(8-2)! \times 2!} - 1 \right)

Escolha uma alternativa para conferir o gabarito.

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Resolução comentada

Um apartamento serve se pelo menos um quarto recebe sol pela manhã. Isso vale para os que terminam em 1 ou 2 (os dois quartos têm sol de manhã) e para os que terminam em 3, 4, 5 ou 6 (um quarto tem). Só os que terminam em 7 ou 8 ficam de fora.

Assim, em cada andar há 2 + 4 = 6 apartamentos que atendem à condição.

A pessoa quer 2 apartamentos no mesmo andar, e a ordem da escolha não importa. Trata-se, portanto, de uma combinação.

Em cada andar, o número de escolhas é C_{6,2} = \dfrac{6!}{(6-2)!\times 2!} = 15.
Como são 9 andares, o total é 9 \times \dfrac{6!}{(6-2)!\times 2!} = 9 \times 15 = 135.

A alternativa A usa arranjo, que conta a ordem, e por isso repete cada par duas vezes.

Alternativa B.

Pegadinha: A alternativa A engana quem esquece que escolher 2 apartamentos não depende da ordem e usa arranjo em vez de combinação.

Por que as outras alternativas estão erradas

Ausa arranjo (ordem importa), contando cada par de apartamentos duas vezes.
Cconsidera só 4 apartamentos por andar, esquecendo os que terminam em 1 e 2.
Dconsidera apenas 2 apartamentos por andar, ignorando os que terminam em 3 a 6.
Eparte de todos os 8 apartamentos e subtrai apenas 1, sem excluir os que só têm sol à tarde.

Assunto: Combinações e binômio de Newton.

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