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PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 152 do ENEM 2022

2º dia · Matemática · H18 · Matemática: Progressão aritmética

Em uma sala de cinema, para garantir que os espectadores vejam toda a imagem projetada na tela, a disposição das poltronas deve obedecer à norma técnica da Associação Brasileira de Normas Técnicas (ABNT), que faz as seguintes indicações:

• Distância mínima (D_{\text{mín}}) entre a tela de projeção e o encosto da poltrona da primeira fileira deve ser de, pelo menos, 60\% da largura (L) da tela.

• Distância máxima (D_{\text{máx}}) entre a tela de projeção e o encosto da poltrona da última fileira deve ser o dobro da largura (L) da tela, sendo aceitável uma distância de até 2{,}9 vezes a largura (L) da tela.

Para o espaçamento entre as fileiras de poltronas, é considerada a distância de 1 metro entre os encostos de poltronas em duas fileiras consecutivas.

Disponível em: www.ctav.gov.br. Acesso em: 14 nov. 2013.

Uma sala de cinema, cuja largura da tela mede 12 m, está montada em conformidade com as normas da ABNT e tem suas dimensões especificadas na figura.

Esquema da sala de cinema em vista aérea, indicando a tela na base de largura L, a distância mínima D_mín = 0,6L, a distância máxima D_máx = 2L e a distância aceitável D_aceitável = 2,9L, abrangendo a área de instalação de novas poltronas. Esquema do espaçamento entre fileiras consecutivas de poltronas, indicando uma distância de 1 m entre os encostos das poltronas.

Pretende-se ampliar essa sala, mantendo-se na mesma posição a tela e todas as poltronas já instaladas, ampliando-se ao máximo a sala para os fundos (área de instalação de novas poltronas), respeitando-se o limite aceitável da norma da ABNT. A intenção é aumentar, ao máximo, a quantidade de poltronas da sala, instalando-se novas unidades, iguais às já instaladas.

Quantas fileiras de poltronas a sala comportará após essa ampliação?

  1. A
    26
  2. B
    27
  3. C
    28
  4. D
    29
  5. E
    35
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Resolução comentada

A norma dá as distâncias em função da largura da tela, L = 12\ \text{m}. Depois, contamos as fileiras, que ficam a 1 m umas das outras.

  1. Primeira fileira (já instalada): D_{\text{mín}} = 0{,}6 \cdot 12 = 7{,}2\ \text{m} da tela.

  2. Última fileira atual: D_{\text{máx}} = 2 \cdot 12 = 24\ \text{m} da tela.

  3. Limite aceitável após a ampliação: 2{,}9 \cdot 12 = 34{,}8\ \text{m} da tela.

Como a sala está montada conforme a norma e a figura mostra a primeira fileira em 7{,}2\ \text{m} e a última em 24\ \text{m}, as fileiras atuais ocupam o intervalo de 7{,}2 a 24 m. Esse intervalo mede 24 - 7{,}2 = 16{,}8\ \text{m}. Com 1 m entre fileiras consecutivas, cabem 16 espaços inteiros, isto é, 16 + 1 = 17 fileiras (ocupando de 7{,}2 a 23{,}2 m).

As poltronas já instaladas não mudam de lugar, então a última fica em 7{,}2 + 16 = 23{,}2\ \text{m}. Novas fileiras entram a partir de 24{,}2\ \text{m}, até no máximo 34{,}8\ \text{m}.

Fileiras de posição 7{,}2 + k, com 7{,}2 + k \le 34{,}8, ou seja, k \le 27{,}6. Então k = 0, 1, \dots, 27, o que dá 28 fileiras no total.

Alternativa C.

Pegadinha: A alternativa D engana quem arredonda 27{,}6 para 28 e soma 1; o correto é usar apenas o inteiro 27 e somar 1 (fileiras de k=0 a 27).

Por que as outras alternativas estão erradas

  • AContou só k de 1 a 26 ou subestimou o número de espaços, perdendo fileiras.
  • BUsou 27 espaços sem somar a fileira inicial (esqueceu o +1 da contagem de extremos).
  • DArredondou 27{,}6 para 28 espaços e somou 1, contando uma fileira além do limite de 34{,}8 m.
  • EContou 34{,}8 - 0{,}6\cdot 12 mal ou usou distância da tela sem descontar os 7{,}2 m iniciais.

Assuntos: Progressão aritmética, Porcentagem.

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