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PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 146 do ENEM 2022

2º dia · Matemática · H21 · Matemática: Divisibilidade, MMC e MDC

Um parque tem dois circuitos de tamanhos diferentes para corridas. Um corredor treina nesse parque e, no primeiro dia, inicia seu treino percorrendo 3 voltas em torno do circuito maior e 2 voltas em torno do menor, perfazendo um total de 1\ 800\text{ m}. Em seguida, dando continuidade a seu treino, corre mais 2 voltas em torno do circuito maior e 1 volta em torno do menor, percorrendo mais 1\ 100\text{ m}.

No segundo dia, ele pretende percorrer 5\ 000\text{ m} nos circuitos do parque, fazendo um número inteiro de voltas em torno deles e de modo que o número de voltas seja o maior possível.

A soma do número de voltas em torno dos dois circuitos, no segundo dia, será

  1. A
    10.
  2. B
    13.
  3. C
    14.
  4. D
    15.
  5. E
    16.
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Resolução comentada

Chame de x o comprimento do circuito maior e de y o do menor, em metros.

Do primeiro dia, montamos duas equações:

  1. 3x + 2y = 1\ 800
  2. 2x + y = 1\ 100

Multiplicando a segunda por 2: 4x + 2y = 2\ 200.

Subtraindo a primeira equação: x = 2\ 200 - 1\ 800 = 400.

Substituindo: y = 1\ 100 - 800 = 300.

Logo, o circuito maior tem 400\ \text{m} e o menor tem 300\ \text{m}.

No segundo dia, com a voltas no maior e b no menor, precisamos de 400a + 300b = 5\ 000, ou seja, 4a + 3b = 50. Queremos maximizar a + b com a, b inteiros não negativos.

Como o circuito menor rende menos metros por volta, o número de voltas é maior usando mais voltas nele. Então devemos maximizar b.

De 3b = 50 - 4a, o valor 50 - 4a deve ser múltiplo de 3. Testando: a=0 dá 50 (não); a=1 dá 46 (não); a=2 dá 42, então b=14.

Essa é a solução com maior b, com a + b = 2 + 14 = 16.

Conferindo: 400\cdot 2 + 300\cdot 14 = 800 + 4\ 200 = 5\ 000. ✓

Outras soluções (a=5, b=10; a=8, b=6 etc.) têm somas menores (15, 14...).

Alternativa E.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • ASoma muito baixa; corresponde a usar principalmente o circuito maior, longe do máximo de voltas.
  • BSoma obtida em solução inteira como a=11,b=2 ou similar, que não maximiza o número de voltas.
  • CCorresponde à solução a=8, b=6, válida mas não a de maior número de voltas.
  • DCorresponde à solução a=5, b=10, válida mas com uma volta a menos que o máximo.

Assuntos: Divisibilidade, MMC e MDC, Equações do 1º grau e problemas.

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