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Questão 141 do ENEM 2022

2º dia · Matemática · H28 · Matemática: Eventos sucessivos e distribuição binomial

Em um jogo de bingo, as cartelas contêm 16 quadrículas dispostas em linhas e colunas. Cada quadrícula tem impresso um número, dentre os inteiros de 1 a 50, sem repetição de número. Na primeira rodada, um número é sorteado, aleatoriamente, dentre os 50 possíveis. Em todas as rodadas, o número sorteado é descartado e não participa dos sorteios das rodadas seguintes. Caso o jogador tenha em sua cartela o número sorteado, ele o assinala na cartela. Ganha o jogador que primeiro conseguir preencher quatro quadrículas que formam uma linha, uma coluna ou uma diagonal, conforme os tipos de situações ilustradas na Figura 1.

Três cartelas 4 por 4 ilustrando as condições de vitória sob os títulos "Preenchimento em linha", "Preenchimento em coluna" e "Preenchimento em diagonal", preenchidas respectivamente com quatro pontos na primeira linha, quatro pontos na quarta coluna e quatro pontos na diagonal principal. Abaixo, a legenda "Figura 1".

O jogo inicia e, nas quatro primeiras rodadas, foram sorteados os seguintes números: 03, 27, 07 e 48. Ao final da quarta rodada, somente Pedro possuía uma cartela que continha esses quatro números sorteados, sendo que todos os demais jogadores conseguiram assinalar, no máximo, um desses números em suas cartelas. Observe na Figura 2 o cartão de Pedro após as quatro primeiras rodadas.

Cartela 4 por 4 de Pedro com números em cada quadrícula: primeira linha com 03 circulado, 48 circulado, 12 e 27 circulado; segunda linha com 49, 11, 22 e 05; terceira linha com 29, 50, 19 e 45; quarta linha com 33, 23, 38 e 07 circulado. Abaixo, a legenda "Figura 2".

A probabilidade de Pedro ganhar o jogo em uma das duas próximas rodadas é

  1. A
    \frac{1}{46} + \frac{1}{45}
  2. B
    \frac{1}{46} + \frac{2}{46 \times 45}
  3. C
    \frac{1}{46} + \frac{8}{46 \times 45}
  4. D
    \frac{1}{46} + \frac{43}{46 \times 45}
  5. E
    \frac{1}{46} + \frac{49}{46 \times 45}
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Resolução comentada

Na cartela de Pedro, estão marcados 03, 48, 27 (primeira linha, posições 1, 2 e 4) e 07 (quarta linha, quarta coluna).

Veja o que falta para completar cada linha, coluna ou diagonal:

  • Primeira linha: falta só o 12 (posição 1,3). Basta sair o 12.
  • Quarta coluna: tem 27 e 07; faltam 05 e 45, ou seja, dois números.
  • Diagonal principal: tem 03 e 07; faltam 11 e 19, dois números.
  • Outras linhas, colunas e diagonal secundária: faltam pelo menos dois números.

Como sobram 46 números no sorteio (50 − 4), calculamos:

  1. Ganhar na 1ª das duas rodadas: só sai o 12, com probabilidade \frac{1}{46}.
  2. Ganhar na 2ª rodada, sem ter ganhado na 1ª: as duas rodadas precisam completar um par de números, ou o 12 sai na 2ª rodada.

O 12 sair na 2ª rodada, sem ter saído na 1ª: \frac{45}{46}\times\frac{1}{45}=\frac{1}{46}. Somado ao caso 1, isso dá \frac{2}{46} de o 12 sair em uma das duas rodadas.

O 12 não pode aparecer nos pares. Pares que completam algo, sem o 12: {05, 45} e {11, 19}, em qualquer ordem. Cada par tem 2 ordens, então são 4 sequências, cada uma com probabilidade \frac{1}{46}\times\frac{1}{45}: total \frac{4}{46\times45}.

Total: \frac{2}{46}+\frac{4}{46\times45}. Isso não coincide com as alternativas; conferindo a leitura, na 2ª rodada o 12 sai com \frac{45}{46}\cdot\frac{1}{45}, e escrevendo com denominador 46\times45 tudo vira: \frac{45}{46\times45}+\frac{45}{46\times45}+\frac{4}{46\times45}. A forma das alternativas usa \frac{1}{46} mais o restante: \frac{1}{46}+\frac{45+4}{46\times45}=\frac{1}{46}+\frac{49}{46\times45}.

Alternativa E.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • Asoma probabilidades de rodadas diferentes sem considerar que o número da 1ª rodada foi descartado e ignora as combinações de pares.
  • Bconta só 2 casos de par em vez de 4 sequências e ignora o 12 na 2ª rodada.
  • Cconta 8 casos, exagerando os pares que completam uma linha, coluna ou diagonal.
  • Dchega a 43, subtraindo casos indevidamente do total de 45 sem contar os pares.

Assuntos: Eventos sucessivos e distribuição binomial, Probabilidade: conceitos básicos.

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