Questão 137 do ENEM 2022

Question

A World Series é a decisão do campeonato norte-americano de beisebol. Os dois times que chegam a essa fase jogam, entre si, até sete partidas. O primeiro desses times que completar quatro vitórias é declarado campeão.

Considere que, em todas as partidas, a probabilidade de qualquer um dos dois times vencer é sempre \frac{1}{2}.

Qual é a probabilidade de o time campeão ser aquele que venceu a primeira partida da World Series?

A
\frac{35}{64}
B
\frac{40}{64}
C
\frac{42}{64}
D
\frac{44}{64}
E
\frac{52}{64}

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 137 do ENEM 2022

2º dia · Matemática · H28 · Matemática: Eventos sucessivos e distribuição binomial

A World Series é a decisão do campeonato norte-americano de beisebol. Os dois times que chegam a essa fase jogam, entre si, até sete partidas. O primeiro desses times que completar quatro vitórias é declarado campeão.

Considere que, em todas as partidas, a probabilidade de qualquer um dos dois times vencer é sempre \frac{1}{2}.

Qual é a probabilidade de o time campeão ser aquele que venceu a primeira partida da World Series?

A
\frac{35}{64}
B
\frac{40}{64}
C
\frac{42}{64}
D
\frac{44}{64}
E
\frac{52}{64}

Escolha uma alternativa para conferir o gabarito.

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Resolução comentada

Chame de A o time que venceu a primeira partida. Queremos a probabilidade de A ser campeão, ou seja, de A chegar a 4 vitórias antes de B.

Uma forma simples: imagine que as 7 partidas sejam sempre jogadas (mesmo depois de alguém ter 4 vitórias). O campeão é quem vence pelo menos 4 das 7, e isso não altera a probabilidade. Como A já venceu a primeira, restam 6 partidas, e A precisa vencer pelo menos 3 delas.

Nas 6 partidas restantes, o número de vitórias de A segue uma distribuição binomial com p=\frac{1}{2}. Cada sequência tem probabilidade \frac{1}{2^6}=\frac{1}{64}.

3 vitórias: \binom{6}{3}=20
4 vitórias: \binom{6}{4}=15
5 vitórias: \binom{6}{5}=6
6 vitórias: \binom{6}{6}=1

Soma: 20+15+6+1=42.

Probabilidade:

\frac{42}{64}

Conferindo pelo complemento: A perde se vencer 0, 1 ou 2 das 6 restantes: 1+6+15=22, e 64-22=42. Confere.

Alternativa C.

Por que as outras alternativas estão erradas

AConsidera só \binom{7}{4}=35 sequências de 7 jogos, ignorando as demais e a vitória inicial.
BValor sem justificativa combinatória; não corresponde à contagem das sequências favoráveis.
DContagem excessiva; soma 44 casos, mais que os 42 favoráveis.
EContagem excessiva de casos favoráveis (52 em 64), superestimando a vantagem de quem venceu o primeiro jogo.

Assuntos: Eventos sucessivos e distribuição binomial, Probabilidade: conceitos básicos.

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