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Questão 136 do ENEM 2022

2º dia · Matemática · H25 · Matemática: Equação do 2º grau

Uma máquina em operação tem sua temperatura T monitorada por meio de um registro gráfico, ao longo do tempo t. Essa máquina possui um pistão cuja velocidade V varia com a temperatura T da máquina, de acordo com a expressão V = T^2 - 4. Após a máquina funcionar durante o intervalo de tempo de 10 horas, o seu operador analisa o registro gráfico, apresentado na figura, para avaliar a necessidade de eventuais ajustes, sabendo que a máquina apresenta falhas de funcionamento quando a velocidade do pistão se anula.

Gráfico da temperatura T em graus Celsius em função do tempo t em horas, de 0 a 10 horas. O eixo vertical indica valores de -2 a 4, com linhas tracejadas horizontais em -2, 2 e 4. A curva inicia próxima a 3 em t = 0, atinge o máximo em 4, decresce cruzando 2 e 0 até atingir um mínimo em -2, sobe até tangenciar o eixo t em 0, desce novamente a -2, sobe tangenciando o eixo t em 0, desce a -2, sobe cruzando 0 e 2, atinge um pico abaixo de 4 e termina em t = 10 em torno de 3.

Quantas vezes a velocidade do pistão se anulou durante as 10 horas de funcionamento?

  1. A
    1
  2. B
    2
  3. C
    3
  4. D
    4
  5. E
    5
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Resolução comentada

A velocidade se anula quando V = 0, ou seja, T^2 - 4 = 0, o que dá T = 2 ou T = -2. Então basta contar quantas vezes a curva da temperatura passa por esses dois valores.

No gráfico, as linhas tracejadas em 2 e -2 marcam esses níveis.

  1. T = 2: a curva cruza essa linha duas vezes. A primeira é na descida, depois do máximo em 4. A segunda é na subida final, antes do pico perto de 3. Depois disso ela fica acima de 2 até t = 10. São 2 vezes.

  2. T = -2: a curva toca essa linha nos três mínimos, um em cada "vale". São 3 vezes.

Os picos em T = 0 não contam, pois nesses pontos V = 0^2 - 4 = -4 \neq 0. O máximo em 4 também não conta, pois dá V = 12.

Total: 2 + 3 = 5 vezes.

Alternativa E.

Pegadinha: Quem procura V=0 com T=0 conta os pontos em que a curva toca o eixo t, mas esses dão V=-4. As raízes corretas são T=\pm 2.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • AConta só um dos pontos, sem perceber que há vários cruzamentos e mínimos.
  • BConta apenas os dois cruzamentos com T=2 e esquece o nível T=-2.
  • CConta só os três mínimos em T=-2 e esquece os cruzamentos com T=2.
  • DPerde um dos pontos, por exemplo um dos cruzamentos com T=2 ou um dos mínimos.

Assuntos: Equação do 2º grau, Leitura e interpretação de gráficos.

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