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PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 175 do ENEM 2021

2º dia · Matemática · H7 · Matemática: Poliedros e relação de Euler

Muitos brinquedos que frequentemente são encontrados em praças e parques públicos apresentam formatos de figuras geométricas bidimensionais e tridimensionais. Uma empresa foi contratada para desenvolver uma nova forma de brinquedo. A proposta apresentada pela empresa foi de uma estrutura formada apenas por hastes metálicas, conectadas umas às outras, como apresentado na figura. As hastes de mesma tonalidade e espessura são congruentes.

Estrutura de hastes metálicas formada por um cubo menor interno com hastes pretas, inserido dentro de um cubo maior externo com hastes cinza-claras mais grossas, onde cada um dos 8 vértices do cubo interno está ligado ao vértice correspondente do cubo externo por uma haste cinza-escura de comprimento intermediário.

Com base na proposta apresentada, quantas figuras geométricas planas de cada tipo são formadas pela união das hastes?

  1. A
    12 trapézios isósceles e 12 quadrados.
  2. B
    24 trapézios isósceles e 12 quadrados.
  3. C
    12 paralelogramos e 12 quadrados.
  4. D
    8 trapézios isósceles e 12 quadrados.
  5. E
    12 trapézios escalenos e 12 retângulos.
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Resolução comentada

A estrutura é um cubo pequeno dentro de um cubo grande, com os vértices correspondentes ligados por 8 hastes. Como os dois cubos têm o mesmo centro e as faces são paralelas, cada haste de ligação está sobre uma diagonal do cubo grande.

Vamos contar as figuras planas, que são regiões limitadas apenas por hastes.

  1. Faces do cubo interno: são 6 quadrados. Faces do cubo externo: mais 6 quadrados. Total: 6+6=12 quadrados.

  2. Regiões entre os cubos: cada aresta do cubo interno tem uma aresta correspondente, paralela, no cubo externo. As duas são ligadas por duas hastes de ligação (uma em cada extremidade), formando um quadrilátero com dois lados paralelos, que são as arestas de tamanhos diferentes.

  3. Tipo do quadrilátero: as duas hastes de ligação têm o mesmo comprimento (as hastes de mesma tonalidade são congruentes). Como os lados paralelos são diferentes, não é paralelogramo. Logo, é um trapézio isósceles.

  4. Quantidade: o cubo tem 12 arestas, então há 12 trapézios isósceles.

Portanto, a estrutura forma 12 trapézios isósceles e 12 quadrados.

Alternativa A.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • BDobra o número de trapézios, contando duas vezes cada um, mas há um trapézio por aresta, ou seja, 12.
  • CChama os quadriláteros de paralelogramos, mas seus lados paralelos têm comprimentos diferentes (arestas de cubos distintos).
  • DConta 8 trapézios, número de vértices ou de hastes de ligação, em vez das 12 arestas.
  • EOs trapézios são isósceles, pois as hastes de ligação são congruentes, e as outras figuras são quadrados, não retângulos quaisquer.

Assunto: Poliedros e relação de Euler.

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