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Questão 168 do ENEM 2021

2º dia · Matemática · H7 · Matemática: Vistas, projeções e planificações

Num octaedro regular, duas faces são consideradas opostas quando não têm nem arestas, nem vértices em comum. Na figura, observa-se um octaedro regular e uma de suas planificações, na qual há uma face colorida na cor cinza escuro e outras quatro faces numeradas.

Octaedro regular em perspectiva tridimensional com arestas visíveis e ocultas tracejadas
Planificação do octaedro regular composta por oito triângulos equiláteros, quatro deles numerados de 1 a 4 e um colorido em cinza escuro

Qual(is) face(s) ficará(ão) oposta(s) à face de cor cinza escuro, quando o octaedro for reconstruído a partir da planificação dada?

  1. A
    1, 2, 3 e 4
  2. B
    1 e 3
  3. C
    1
  4. D
    2
  5. E
    4
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Resolução comentada

Duas faces opostas do octaedro não compartilham vértice nem aresta. Vou reconstruir o sólido seguindo a cadeia de faces coladas por aresta, partindo da face cinza.

O octaedro tem 6 vértices: \pm x, \pm y, \pm z. Cada face usa um vértice de cada eixo, e a face oposta usa os vértices contrários.

  1. Cinza (G): vértices +x, +y, +z.
  2. O triângulo T6, que fica à esquerda da cinza e tem lado comum com ela, é o que fica de cabeça para baixo na fileira de baixo. Ele divide com G a aresta +y,+z e tem como terceiro vértice -x. Então T6 tem -x, +y, +z.
  3. O triângulo T5, colado no topo de T6, compartilha com ele a aresta -x,+y (o vértice +y é o ponto que T5 também tem em comum com G). O terceiro vértice não pode ser +z, senão T5 repetiria a face T6 ou outra já usada, então é -z. T5 tem -x, +y, -z.
  4. A face 4 está colada em T5 pela aresta que contém -x e -z. O terceiro vértice é -y. A face 4 tem -x, -y, -z.

A face 4 tem exatamente os vértices contrários aos da cinza (+x,+y,+z), sem nenhum em comum. Logo, só a face 4 fica oposta à face cinza.

Alternativa E.

Pegadinha: Achar que as faces numeradas que aparecem 'longe' da cinza na planificação (como 1 ou 3) são as opostas; a posição no desenho plano engana, pois o que vale são as conexões após dobrar.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • AUma face só é oposta a uma outra face; não existem quatro faces opostas à cinza.
  • BAs faces 1 e 3 ficam ao redor da face 2 e não são opostas à cinza, pois compartilham vértice com ela.
  • CA face 1 fica ligada por vértice ou aresta a faces próximas da cinza, não é a oposta.
  • DA face 2 fica vizinha da 4 no meio da faixa superior e tem vértice em comum com a cinza, portanto não é oposta.

Assunto: Vistas, projeções e planificações.

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