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PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 142 do ENEM 2021

2º dia · Matemática · H30 · Matemática: Eventos sucessivos e distribuição binomial

O organizador de uma competição de lançamento de dardos pretende tornar o campeonato mais competitivo. Pelas regras atuais da competição, numa rodada, o jogador lança 3 dardos e pontua caso acerte pelo menos um deles no alvo. O organizador considera que, em média, os jogadores têm, em cada lançamento, \frac{1}{2} de probabilidade de acertar um dardo no alvo.

A fim de tornar o jogo mais atrativo, planeja modificar as regras de modo que a probabilidade de um jogador pontuar em uma rodada seja igual ou superior a \frac{9}{10}. Para isso, decide aumentar a quantidade de dardos a serem lançados em cada rodada.

Com base nos valores considerados pelo organizador da competição, a quantidade mínima de dardos que devem ser disponibilizados em uma rodada para tornar o jogo mais atrativo é

  1. A
    2.
  2. B
    4.
  3. C
    6.
  4. D
    9.
  5. E
    10.
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Resolução comentada

Pontuar significa acertar pelo menos um dardo. É mais fácil calcular o evento contrário: errar todos os dardos.

A probabilidade de errar um lançamento é 1-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}. Como os lançamentos são independentes, a probabilidade de errar os n dardos é \left(\frac{1}{2}\right)^n.

Então a probabilidade de pontuar é:

P = 1-\left(\frac{1}{2}\right)^n

Queremos P \geq \frac{9}{10}:

  1. 1-\left(\frac{1}{2}\right)^n \geq \frac{9}{10}
  2. \left(\frac{1}{2}\right)^n \leq \frac{1}{10}
  3. 2^n \geq 10

Testando valores de n:

  • n=3: 2^3=8, menor que 10 (é a regra atual, P=\frac{7}{8}=0{,}875).
  • n=4: 2^4=16 \geq 10. Vale.

Com 4 dardos, P = 1-\frac{1}{16}=\frac{15}{16}=0{,}9375 \geq 0{,}9.

A quantidade mínima é 4 dardos.

Alternativa B.

Pegadinha: As alternativas D e E usam os números 9 e 10 da fração \frac{9}{10} e enganam quem não resolve 2^n \geq 10.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • Acom 2 dardos a probabilidade é \frac{3}{4}, menor que a das regras atuais, e não chega a \frac{9}{10}.
  • C6 dardos servem, mas não é o mínimo; 4 já dá \frac{15}{16}.
  • Dconfunde o 9 do numerador da fração \frac{9}{10} com a quantidade de dardos.
  • Econfunde o 10 do denominador com a quantidade de dardos; a condição é 2^n \geq 10, não n \geq 10.

Assuntos: Eventos sucessivos e distribuição binomial, Probabilidade: conceitos básicos.

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