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PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 172 do ENEM 2020

2º dia · Matemática · H14 · Matemática: Teorema de Pitágoras e relações métricas

No período de fim de ano, o síndico de um condomínio resolveu colocar, em um poste, uma iluminação natalina em formato de cone, lembrando uma árvore de Natal, conforme as figuras 1 e 2.

Figura 1: fotografia de uma iluminação natalina em forma de cone, com uma estrela no topo. Figura 2: esquema de um poste perpendicular ao chão, fixado no centro C de uma circunferência; segmentos ligam um ponto do poste a pontos da circunferência, formando um cone de altura h = 3 m.

A árvore deverá ser feita colocando-se mangueiras de iluminação, consideradas segmentos de reta de mesmo comprimento, a partir de um ponto situado a 3 m de altura no poste até um ponto de uma circunferência de fixação, no chão, de tal forma que esta fique dividida em 20 arcos iguais. O poste está fixado no ponto C (centro da circunferência) perpendicularmente ao plano do chão.

Para economizar, ele utilizará mangueiras de iluminação aproveitadas de anos anteriores, que juntas totalizaram pouco mais de 100 m de comprimento, dos quais ele decide usar exatamente 100 m e deixar o restante como reserva.

Para que ele atinja seu objetivo, o raio, em metro, da circunferência deverá ser de

  1. A
    4,00.
  2. B
    4,87.
  3. C
    5,00.
  4. D
    5,83.
  5. E
    6,26.
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Resolução comentada

A circunferência é dividida em 20 arcos iguais, então há 20 mangueiras, todas com o mesmo comprimento (a geratriz g do cone).

  1. Comprimento de cada mangueira: g = \frac{100}{20} = 5\ \text{m}.

  2. O poste é perpendicular ao chão e fixado no centro C. Assim, a altura h, o raio r e a geratriz g formam um triângulo retângulo, com g como hipotenusa.

  3. Pelo teorema de Pitágoras: g^2 = h^2 + r^2.

  4. Substituindo: 5^2 = 3^2 + r^2, ou seja, 25 = 9 + r^2, logo r^2 = 16 e r = 4\ \text{m}.

O raio da circunferência deve ser 4 m. Note que o número de arcos só serve para saber quantas mangueiras são usadas. A divisão em 20 partes não exige nenhuma conta com o ângulo central, porque as mangueiras ligam o ponto do poste aos pontos da circunferência, e não os pontos da circunferência entre si.

Alternativa A.

Pegadinha: A alternativa C engana quem toma o comprimento de cada mangueira (5 m) como o raio, e a D quem soma 3^2+5^2 em vez de subtrair.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • BValor sem justificativa; não sai de g=5 e h=3 por Pitágoras.
  • CConfunde o raio com o comprimento da mangueira (g=5), esquecendo a altura de 3 m.
  • DSoma os quadrados (\sqrt{25+9}\approx5{,}83) em vez de subtrair o quadrado da altura.
  • EResulta de tratar a corda entre pontos da circunferência como se fosse o raio ou de dividir por outro número de mangueiras.

Assunto: Teorema de Pitágoras e relações métricas.

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