Questão 173 do ENEM 2020

Question

Pergolado é o nome que se dá a um tipo de cobertura projetada por arquitetos, comumente em praças e jardins, para criar um ambiente para pessoas ou plantas, no qual há uma quebra da quantidade de luz, dependendo da posição do sol. É feito como um estrado de vigas iguais, postas paralelas e perfeitamente em fila, como ilustra a figura.

Desenho em perspectiva de seis vigas retangulares paralelas de um pergolado, com um detalhe ampliado que indica um vão de 30 cm entre duas vigas.

Um arquiteto projeta um pergolado com vãos de 30 cm de distância entre suas vigas, de modo que, no solstício de verão, a trajetória do sol durante o dia seja realizada num plano perpendicular à direção das vigas, e que o sol da tarde, no momento em que seus raios fizerem 30^\circ com a posição a pino, gere a metade da luz que passa no pergolado ao meio-dia.

Para atender à proposta do projeto elaborado pelo arquiteto, as vigas do pergolado devem ser construídas de maneira que a altura, em centímetro, seja a mais próxima possível de

A
9.
B
15.
C
26.
D
52.
E
60.

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 173 do ENEM 2020

2º dia · Matemática · H14 · Matemática: Trigonometria no triângulo retângulo

Pergolado é o nome que se dá a um tipo de cobertura projetada por arquitetos, comumente em praças e jardins, para criar um ambiente para pessoas ou plantas, no qual há uma quebra da quantidade de luz, dependendo da posição do sol. É feito como um estrado de vigas iguais, postas paralelas e perfeitamente em fila, como ilustra a figura.

Desenho em perspectiva de seis vigas retangulares paralelas de um pergolado, com um detalhe ampliado que indica um vão de 30 cm entre duas vigas.

Um arquiteto projeta um pergolado com vãos de 30 cm de distância entre suas vigas, de modo que, no solstício de verão, a trajetória do sol durante o dia seja realizada num plano perpendicular à direção das vigas, e que o sol da tarde, no momento em que seus raios fizerem 30^\circ com a posição a pino, gere a metade da luz que passa no pergolado ao meio-dia.

Para atender à proposta do projeto elaborado pelo arquiteto, as vigas do pergolado devem ser construídas de maneira que a altura, em centímetro, seja a mais próxima possível de

A
9.
B
15.
C
26.
D
52.
E
60.

Escolha uma alternativa para conferir o gabarito.

Reportar erro na questão

Resolução comentada

Ao meio-dia o sol está a pino: os raios são verticais e a luz passa por todo o vão de 30 cm.

Quando os raios fazem 30^\circ com a vertical, a viga de altura h projeta uma sombra no solo. Essa sombra cobre parte do vão. Pelo triângulo retângulo formado pela altura da viga (cateto vertical) e a sombra horizontal s (cateto oposto ao ângulo de 30^\circ):

\tg 30^\circ = \frac{s}{h} \Rightarrow s = h\cdot\tg 30^\circ = h\cdot\frac{\sqrt{3}}{3}

Para passar metade da luz, a largura iluminada do vão deve ser metade de 30 cm, ou seja, 15 cm. Então a sombra ocupa os outros 15 cm:

s = 30 - 15 = 15\ \text{cm}
h\cdot\dfrac{\sqrt{3}}{3} = 15
h = \dfrac{45}{\sqrt{3}} = 15\sqrt{3}
Com \sqrt{3}\approx 1{,}73: h \approx 15\cdot 1{,}73 \approx 26\ \text{cm}

A altura mais próxima é 26 cm.

Alternativa C.

Pegadinha: A alternativa B (15) engana quem iguala a sombra de 15 cm à altura da viga, esquecendo de usar a tangente de 30^\circ.

Por que as outras alternativas estão erradas

Ausa \tg 30^\circ como se fosse \sqrt{3} na divisão errada, obtendo 15\sqrt{3}/3 \approx 9.
Bconfunde a sombra de 15 cm com a altura da viga, ignorando a tangente.
Dusa o seno de 30^\circ (ou 15/\text{sen}\,30^\circ = 30) ou dobra o valor, dando cerca de 52.
Eusa a sombra de 30 cm (vão inteiro), dando 30\sqrt{3}\approx 52, ou outra conta errada, chegando a 60.

Assunto: Trigonometria no triângulo retângulo.

Reportar erro na resolução

Ver como caiu na prova

Questão 173 no caderno Azul do ENEM 2020

Nos cadernos: Amarelo 180Cinza 145Azul 173Rosa 167