Questão 171 do ENEM 2020

O ângulo interno de um octógono regular é \frac{(8-2)\cdot 180^\circ}{8}=135^\circ. Assim, nos espaços entre os octógonos, os ângulos dos azulejos que faltam dependem de quantos octógonos se encontram em cada ponto.

1. Espaços entre quatro octógonos (no meio do painel): dois octógonos vizinhos se tocam por um lado, e em cada vértice de encontro há dois octógonos, ocupando 135^\circ+135^\circ=270^\circ. Sobram 360^\circ-270^\circ=90^\circ em cada canto do espaço vazio. Como os lados são todos iguais e os quatro ângulos medem 90^\circ, o espaço é um quadrado. Na figura há 3 desses espaços no centro.

2. Espaços nas bordas (topo e base): o espaço é limitado pela borda reta do painel (ângulo de 180^\circ) e por dois octógonos. Sobram 180^\circ-135^\circ-135^\circ+\ldots Analisando pelo canto: o lado do octógono forma com a borda um ângulo de 180^\circ-135^\circ=45^\circ. O triângulo tem ângulos 45^\circ, 45^\circ e 90^\circ (o 90^\circ vem do encontro dos dois octógonos). É um triângulo retângulo isósceles.

3. Cantos e laterais: nas laterais o raciocínio é o mesmo, e nos cantos do painel sobra um ângulo de 45^\circ e 90^\circ, também triângulos retângulos isósceles.

Contagem: 3 quadrados no centro e 12 triângulos nas bordas, totalizando 15 espaços. São necessários os formatos 1 e 3.

Alternativa D.

Por que as outras alternativas estão erradas

• Aconsidera só os triângulos das bordas e esquece os espaços quadrados entre os octógonos.
• Bconsidera só os quadrados centrais e ignora os espaços triangulares das bordas.
• Cinclui o triângulo equilátero, cujos ângulos de 60^\circ não aparecem nos espaços de 90^\circ e 45^\circ.
• Einclui o triângulo equilátero, que não se encaixa em nenhum espaço do painel.

Assunto: Ângulos, polígonos e quadriláteros.

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