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Questão 158 do ENEM 2020

2º dia · Matemática · H3 · Matemática: Combinações e binômio de Newton

Três amigos, André, Bernardo e Carlos, moram em um condomínio fechado de uma cidade. O quadriculado representa a localização das ruas paralelas e perpendiculares, delimitando quadras de mesmo tamanho nesse condomínio, em que nos pontos A, B e C estão localizadas as casas de André, Bernardo e Carlos, respectivamente.

Quadriculado com seis colunas e cinco linhas de quadras. A casa A está na interseção da segunda linha vertical com a penúltima linha horizontal; C, na quarta linha vertical com a terceira linha horizontal; B, na sexta linha vertical com a segunda linha horizontal.

André deseja deslocar-se da sua casa até a casa de Bernardo, sem passar pela casa de Carlos, seguindo ao longo das ruas do condomínio, fazendo sempre deslocamentos para a direita ( \rightarrow ) ou para cima ( \uparrow ), segundo o esquema da figura.

O número de diferentes caminhos que André poderá utilizar para realizar o deslocamento nas condições propostas é

  1. A
    4.
  2. B
    14.
  3. C
    17.
  4. D
    35.
  5. E
    48.
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Resolução comentada

Tomando como unidade o lado de uma quadra, a leitura da figura dá: de A até B são 4 quadras para a direita e 3 para cima. De A até C são 2 para a direita e 2 para cima. De C até B são 2 para a direita e 1 para cima.

Um caminho só com deslocamentos para a direita e para cima é uma sequência de movimentos. O número de caminhos é o número de modos de escolher em que posições ficam os movimentos "para cima", ou seja, uma combinação.

Como André não pode passar por C, contamos todos os caminhos e subtraímos os que passam por C.

  1. Todos os caminhos de A até B: 7 movimentos, sendo 3 para cima, logo \binom{7}{3}=35.
  2. Caminhos de A até C: 4 movimentos, sendo 2 para cima, logo \binom{4}{2}=6.
  3. Caminhos de C até B: 3 movimentos, sendo 1 para cima, logo \binom{3}{1}=3.
  4. Caminhos que passam por C: pelo princípio multiplicativo, 6\cdot 3=18.
  5. Caminhos que não passam por C: 35-18=17.

Alternativa C.

Pegadinha: A alternativa D (35) é o total de caminhos sem a restrição; quem esquece de descontar os que passam por C cai nela.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • ANão tem relação com a contagem; ignora a combinação dos movimentos possíveis.
  • BResultado sem base na contagem correta; não corresponde a 35 − 18.
  • DÉ o total de caminhos de A até B, sem descontar os que passam por C.
  • ESoma erradamente 35 com 13 ou faz outra conta sem sentido; passa de 35, o máximo possível.

Assunto: Combinações e binômio de Newton.

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