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PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 155 do ENEM 2020

2º dia · Matemática · H2 · Matemática: Progressão geométrica

O artista gráfico holandês Maurits Cornelius Escher criou belíssimas obras nas quais as imagens se repetiam, com diferentes tamanhos, induzindo ao raciocínio de repetição infinita das imagens. Inspirado por ele, um artista fez um rascunho de uma obra na qual propunha a ideia de construção de uma sequência de infinitos quadrados, cada vez menores, uns sob os outros, conforme indicado na figura.

Sequência vertical de quadrados decrescentes, iniciando no quadrado PRST de lado 1, com o quadrado seguinte construído sob o anterior com lado medindo metade da base anterior e reticências na parte inferior indicando a continuidade do padrão. À esquerda, uma escala vertical graduada indica as medidas dos lados como 1, 1/2, 1/4 e reticências.

O quadrado PRST, com lado de medida 1, é o ponto de partida. O segundo quadrado é construído sob ele tomando-se o ponto médio da base do quadrado anterior e criando-se um novo quadrado, cujo lado corresponde à metade dessa base. Essa sequência de construção se repete recursivamente.

Qual é a medida do lado do centésimo quadrado construído de acordo com esse padrão?

  1. A
    \left(\dfrac{1}{2}\right)^{100}
  2. B
    \left(\dfrac{1}{2}\right)^{99}
  3. C
    \left(\dfrac{1}{2}\right)^{97}
  4. D
    \left(\dfrac{1}{2}\right)^{-98}
  5. E
    \left(\dfrac{1}{2}\right)^{-99}
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Resolução comentada

Os lados dos quadrados formam uma progressão geométrica (PG): cada lado é a metade do anterior, então a razão é q=\dfrac{1}{2} e o primeiro termo é a_1 = 1.

A fórmula do termo geral de uma PG é:

a_n = a_1 \cdot q^{\,n-1}

Para o centésimo quadrado, n=100:

  1. a_{100} = 1 \cdot \left(\dfrac{1}{2}\right)^{100-1}
  2. a_{100} = \left(\dfrac{1}{2}\right)^{99}

Conferindo com os primeiros termos: o 1º quadrado tem lado \left(\frac12\right)^0=1, o 2º tem \left(\frac12\right)^1=\frac12, o 3º tem \left(\frac12\right)^2=\frac14. O expoente é sempre a posição menos 1, pois o primeiro quadrado ainda não foi dividido ao meio nenhuma vez.

As alternativas com expoente negativo (D e E) dariam lados maiores que 1, o que é impossível, já que os quadrados só diminuem.

Alternativa B.

Pegadinha: A alternativa A engana quem usa o expoente igual à posição (100) em vez de 99.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • Ausa o expoente 100, esquecendo que o primeiro quadrado corresponde ao expoente 0 (n, em vez de n−1).
  • Cexpoente 97 não corresponde a nenhuma contagem correta da posição do quadrado.
  • Dexpoente negativo daria um lado maior que 1, mas os quadrados diminuem.
  • Eexpoente negativo inverte a razão, resultando em 2^{99}, um valor enorme.

Assunto: Progressão geométrica.

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