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Questão 145 do ENEM 2020

2º dia · Matemática · H11 · Matemática: Escala

Um clube deseja produzir miniaturas em escala do troféu que ganhou no último campeonato. O troféu está representado na Figura 1 e é composto por uma base em formato de um paralelepípedo reto-retângulo de madeira, sobre a qual estão fixadas três hastes verticais que sustentam uma esfera de 30 cm de diâmetro, que fica centralizada sobre a base de madeira. O troféu tem 100 cm de altura, incluída sua base.

Figura 1: troféu composto por base retangular de 50 cm por 50 cm com três hastes verticais que sustentam uma esfera no topo.

Figura 1

Figura 2: caixa de vidro em formato de paralelepípedo reto-retângulo com base de dimensões 8 cm por 10 cm e altura indicada por um ponto de interrogação.

Figura 2

A miniatura desse troféu deverá ser instalada no interior de uma caixa de vidro, em formato de paralelepípedo reto-retângulo, cujas dimensões internas de sua base estão indicadas na Figura 2, de modo que a base do troféu seja colada na base da caixa e distante das paredes laterais da caixa de vidro em pelo menos 1 cm. Deve ainda haver uma distância de exatos 2 cm entre o topo da esfera e a tampa dessa caixa de vidro. Nessas condições deseja-se fazer a maior miniatura possível.

A medida da altura, em centímetro, dessa caixa de vidro deverá ser igual a

  1. A
    12.
  2. B
    14.
  3. C
    16.
  4. D
    18.
  5. E
    20.
Escolha uma alternativa para conferir o gabarito.
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Resolução comentada

A miniatura é uma redução em escala do troféu: todas as medidas ficam multiplicadas pela mesma razão k. Por isso, o limite para a escala vem da base.

A base da caixa mede 8\ \text{cm} \times 10\ \text{cm}. A base da miniatura precisa ficar a pelo menos 1 cm de cada parede lateral, então ela cabe em um retângulo de:

  1. 8 - 2\cdot 1 = 6\ \text{cm} em uma direção;
  2. 10 - 2\cdot 1 = 8\ \text{cm} na outra.

A base do troféu é um quadrado de 50\ \text{cm} de lado. Na miniatura, o lado será 50k, e ele precisa caber nos dois valores. O menor limite é 6\ \text{cm}, então a maior miniatura tem:

50k = 6 \Rightarrow k = \frac{6}{50} = 0{,}12

A altura do troféu é 100\ \text{cm}, incluída a base, e ela também é reduzida por k:

100 \cdot 0{,}12 = 12\ \text{cm}

O enunciado pede ainda 2 cm entre o topo da esfera e a tampa. O topo da esfera é o ponto mais alto do troféu, então a altura da caixa é:

12 + 2 = 14\ \text{cm}

Alternativa B.

Pegadinha: A alternativa A engana quem para na altura da miniatura (12 cm) e esquece de somar os 2 cm até a tampa; a D e a E enganam quem não desconta a folga de 1 cm de cada lado.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • ACalcula só a altura da miniatura (12 cm) e esquece os 2 cm entre a esfera e a tampa.
  • CNão corresponde a nenhuma escala válida; provavelmente resulta de usar a base de 8 cm sem descontar a folga ou de somar valores errados.
  • DUsa o lado de 8 cm (10 − 2) como limite, o que dá escala 0,16 e altura 16 + 2, mas a base de 8 cm não cabe na dimensão de 8 cm da caixa com folga.
  • EIgnora as folgas de 1 cm e usa o lado de 8 cm da caixa, com escala 0,16 e altura 16, e ainda soma 2 e arredonda para 20.

Assuntos: Escala, Prismas e paralelepípedos.

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