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PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 146 do ENEM 2020

2º dia · Matemática · H21 · Matemática: Função modular

Uma casa de dois andares está sendo projetada. É necessário incluir no projeto a construção de uma escada para o acesso ao segundo andar. Para o cálculo das dimensões dos degraus utilizam-se as regras:

|2h + b - 63{,}5| \le 1{,}5 \text{ e } 16 \le h \le 19,

nas quais h é a altura do degrau (denominada espelho) e b é a profundidade da pisada, como mostra a figura. Por conveniência, escolheu-se a altura do degrau como sendo h = 16. As unidades de h e b estão em centímetro.

Corte lateral esquemático dos degraus de uma escada, indicando a profundidade da pisada b e a altura do espelho h

Nesse caso, o mais amplo intervalo numérico ao qual a profundidade da pisada (b) deve pertencer, para que as regras sejam satisfeitas é

  1. A
    30 \le b
  2. B
    30 \le b \le 31{,}5
  3. C
    30 \le b \le 33
  4. D
    31{,}5 \le b \le 33
  5. E
    b \le 33
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Resolução comentada

A desigualdade com módulo |x| \le a equivale a -a \le x \le a. Vamos aplicá-la com h = 16, valor que já respeita a condição 16 \le h \le 19.

  1. Substituindo h = 16: 2h = 32, então |32 + b - 63{,}5| \le 1{,}5, ou seja, |b - 31{,}5| \le 1{,}5.

  2. Abrindo o módulo: -1{,}5 \le b - 31{,}5 \le 1{,}5.

  3. Somando 31{,}5 a todos os membros: 30 \le b \le 33.

Assim, b deve estar entre 30 cm e 33 cm, incluindo os extremos. Esse é o intervalo mais amplo que satisfaz as regras. As alternativas A e E deixam b ilimitado de um lado, o que violaria a desigualdade. As alternativas B e D cortam parte do intervalo.

Alternativa C.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • ASó considera o limite inferior e ignora o limite superior b \le 33.
  • BUsa 31{,}5 como limite superior, esquecendo de somar 1{,}5 a 31{,}5.
  • DUsa 31{,}5 como limite inferior, em vez de subtrair 1{,}5 dele.
  • ESó considera o limite superior e ignora o limite inferior b \ge 30.

Assuntos: Função modular, Inequações e desigualdades.

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