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PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 169 do ENEM 2019

2º dia · Matemática · H9 · Matemática: Ponto e reta no plano cartesiano

Um aplicativo de relacionamentos funciona da seguinte forma: o usuário cria um perfil com foto e informações pessoais, indica as características dos usuários com quem deseja estabelecer contato e determina um raio de abrangência a partir da sua localização. O aplicativo identifica as pessoas que se encaixam no perfil desejado e que estão a uma distância do usuário menor ou igual ao raio de abrangência. Caso dois usuários tenham perfis compatíveis e estejam numa região de abrangência comum a ambos, o aplicativo promove o contato entre os usuários, o que é chamado de match.

O usuário P define um raio de abrangência com medida de 3 km e busca ampliar a possibilidade de obter um match se deslocando para a região central da cidade, que concentra um maior número de usuários. O gráfico ilustra alguns bares que o usuário P costuma frequentar para ativar o aplicativo, indicados por I, II, III, IV e V. Sabe-se que os usuários Q, R e S, cujas posições estão descritas pelo gráfico, são compatíveis com o usuário P, e que estes definiram raios de abrangência respectivamente iguais a 3 km, 2 km e 5 km.

Gráfico em plano cartesiano, com eixos x e y em quilômetros e marcações de 0 a 8. Os usuários estão em P (0, 0), Q (3, 7), R (6, 7) e S (5, 3), representados por pontos com círculos tracejados ao redor. Os bares estão marcados por losangos: I (5, 6), II (4, 5), III (5, 5), IV (4, 6) e V (3, 4).

Com base no gráfico e nas afirmações anteriores, em qual bar o usuário P teria a possibilidade de um match com os usuários Q, R e S, simultaneamente?

  1. A
    I
  2. B
    II
  3. C
    III
  4. D
    IV
  5. E
    V
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Resolução comentada

Para haver match com os três usuários ao mesmo tempo, o bar precisa estar dentro do raio de P (3 km) e também dentro do raio de Q (3 km), de R (2 km) e de S (5 km). A distância entre dois pontos é d=\sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2}.

Primeiro, a condição mais restritiva: o raio de P é 3 km, com P em (0, 0). Calculando a distância de P a cada bar:

  1. I (5, 6): \sqrt{25+36}=\sqrt{61}\approx 7{,}8, fora.
  2. II (4, 5): \sqrt{16+25}=\sqrt{41}\approx 6{,}4, fora.
  3. III (5, 5): \sqrt{50}\approx 7{,}1, fora.
  4. IV (4, 6): \sqrt{52}\approx 7{,}2, fora.
  5. V (3, 4): \sqrt{9+16}=5, fora.

Os bares estão todos a mais de 3 km de P. Mas a regra do aplicativo diz que o contato ocorre numa região de abrangência comum a ambos. Assim, P vai se deslocar até o bar, e o que vale é o bar estar dentro do raio de P a partir do bar? Na leitura da prova, o usuário P ativa o aplicativo no bar, ou seja, é P quem está no bar, e o raio de 3 km de P passa a ser centrado no bar. Então a condição é: distância do bar até Q ≤ 3 km, até R ≤ 2 km, até S ≤ 5 km, e até P nenhuma exigência, pois P está no bar.

Distância do bar a R (6, 7), que precisa ser ≤ 2:

  • I (5, 6): \sqrt{1+1}\approx1{,}4, ok.
  • II (4, 5): \sqrt{4+4}\approx2{,}8, fora.
  • III (5, 5): \sqrt{1+4}\approx2{,}2, fora.
  • IV (4, 6): \sqrt{4+1}\approx2{,}2, fora.
  • V (3, 4): \sqrt{9+9}\approx4{,}2, fora.

Só o bar I passa em R. Conferindo Q (3, 7): \sqrt{4+1}\approx2{,}2\le3, ok. S (5, 3): \sqrt{0+9}=3\le5, ok.

Alternativa A.

Pegadinha: O raio de R (2 km) é o menor e decide a questão; quem olha só Q e S, com raios maiores, acha que vários bares servem.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • BO bar II fica a cerca de 2,8 km de R, mais que o raio de 2 km de R.
  • CO bar III fica a cerca de 2,2 km de R, fora do raio de 2 km.
  • DO bar IV fica a cerca de 2,2 km de R, fora do raio de 2 km.
  • EO bar V fica a cerca de 4,2 km de R, muito além do raio de 2 km.

Assunto: Ponto e reta no plano cartesiano.

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