Questão 166 do ENEM 2019

Question

Construir figuras de diversos tipos, apenas dobrando e cortando papel, sem cola e sem tesoura, é a arte do origami (ori = dobrar; kami = papel), que tem um significado altamente simbólico no Japão. A base do origami é o conhecimento do mundo por base do tato. Uma jovem resolveu construir um cisne usando a técnica do origami, utilizando uma folha de papel de 18 cm por 12 cm. Assim, começou por dobrar a folha conforme a figura.

Esboço de uma folha retangular com vértices A, B, C e uma dobra feita a partir do vértice A até um ponto E na base inferior. O lado superior AB mede 18 cm, a lateral direita BC mede 12 cm e a parte da base EC mede 12 cm. O vértice inferior esquerdo original foi dobrado para a posição D no interior da folha, formando o triângulo retângulo ADE com ângulo reto no vértice D.

Após essa primeira dobradura, a medida do segmento AE é

A
2\text{ }\sqrt{22}\text{ cm}.
B
6\sqrt{3}\text{ cm}.
C
12\text{ cm}.
D
6\sqrt{5}\text{ cm}.
E
12\sqrt{2}\text{ cm}.

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 166 do ENEM 2019

2º dia · Matemática · H8 · Matemática: Teorema de Pitágoras e relações métricas

Construir figuras de diversos tipos, apenas dobrando e cortando papel, sem cola e sem tesoura, é a arte do origami (ori = dobrar; kami = papel), que tem um significado altamente simbólico no Japão. A base do origami é o conhecimento do mundo por base do tato. Uma jovem resolveu construir um cisne usando a técnica do origami, utilizando uma folha de papel de 18 cm por 12 cm. Assim, começou por dobrar a folha conforme a figura.

Esboço de uma folha retangular com vértices A, B, C e uma dobra feita a partir do vértice A até um ponto E na base inferior. O lado superior AB mede 18 cm, a lateral direita BC mede 12 cm e a parte da base EC mede 12 cm. O vértice inferior esquerdo original foi dobrado para a posição D no interior da folha, formando o triângulo retângulo ADE com ângulo reto no vértice D.

Após essa primeira dobradura, a medida do segmento AE é

A
2\text{ }\sqrt{22}\text{ cm}.
B
6\sqrt{3}\text{ cm}.
C
12\text{ cm}.
D
6\sqrt{5}\text{ cm}.
E
12\sqrt{2}\text{ cm}.

Escolha uma alternativa para conferir o gabarito.

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Resolução comentada

A folha original é um retângulo de 18 cm por 12 cm. Ao dobrar o canto inferior esquerdo, o vértice cai em D, e o triângulo dobrado ADE é congruente ao triângulo que ficou "por baixo" da dobra. Esse triângulo tem um vértice no canto inferior esquerdo, que chamo de F, com ângulo reto em F.

A base inteira mede 18 cm (é igual ao lado AB). Como EC = 12 cm, sobra FE = 18 − 12 = 6 cm.

O lado AF é a lateral esquerda, que mede 12 cm.

No triângulo retângulo AFE, com ângulo reto em F, aplicamos Pitágoras:

AE^2 = AF^2 + FE^2
AE^2 = 12^2 + 6^2 = 144 + 36 = 180
AE = \sqrt{180} = \sqrt{36\cdot 5} = 6\sqrt{5}\ \text{cm}

Conferindo pelo triângulo dobrado: AD = AF = 12 e DE = FE = 6, ângulo reto em D, o que dá o mesmo resultado.

Alternativa D.

Por que as outras alternativas estão erradas

A2\sqrt{22} não resulta de nenhuma combinação correta dos lados 12 e 6; é valor sem base na conta.
B6\sqrt{3} viria de \sqrt{108}, erro ao calcular 144-36 em vez de somar.
C12 cm é apenas o lado AF, ignorando que AE é a hipotenusa.
E12\sqrt{2} supõe catetos iguais a 12, esquecendo que FE = 18 − 12 = 6.

Assunto: Teorema de Pitágoras e relações métricas.

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Questão 166 no caderno Azul do ENEM 2019

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