Questão 159 do ENEM 2019

Question

O dono de um restaurante situado às margens de uma rodovia percebeu que, ao colocar uma placa de propaganda de seu restaurante ao longo da rodovia, as vendas aumentaram. Pesquisou junto aos seus clientes e concluiu que a probabilidade de um motorista perceber uma placa de anúncio é \frac{1}{2}. Com isso, após autorização do órgão competente, decidiu instalar novas placas com anúncios de seu restaurante ao longo dessa rodovia, de maneira que a probabilidade de um motorista perceber pelo menos uma das placas instaladas fosse superior a \frac{99}{100}.

A quantidade mínima de novas placas de propaganda a serem instaladas é

A
99.
B
51.
C
50.
D
6.
E
1.

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 159 do ENEM 2019

2º dia · Matemática · H30 · Matemática: Eventos sucessivos e distribuição binomial

O dono de um restaurante situado às margens de uma rodovia percebeu que, ao colocar uma placa de propaganda de seu restaurante ao longo da rodovia, as vendas aumentaram. Pesquisou junto aos seus clientes e concluiu que a probabilidade de um motorista perceber uma placa de anúncio é \frac{1}{2}. Com isso, após autorização do órgão competente, decidiu instalar novas placas com anúncios de seu restaurante ao longo dessa rodovia, de maneira que a probabilidade de um motorista perceber pelo menos uma das placas instaladas fosse superior a \frac{99}{100}.

A quantidade mínima de novas placas de propaganda a serem instaladas é

A
99.
B
51.
C
50.
D
6.
E
1.

Escolha uma alternativa para conferir o gabarito.

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Resolução comentada

Use o evento complementar: perceber pelo menos uma placa é o contrário de não perceber nenhuma.

Com n placas, cada uma tem probabilidade \frac{1}{2} de ser percebida e, portanto, \frac{1}{2} de não ser percebida. Supondo as placas independentes, a probabilidade de não perceber nenhuma é \left(\frac{1}{2}\right)^n.

A probabilidade de perceber pelo menos uma é:

1-\left(\frac{1}{2}\right)^n > \frac{99}{100}

Isso equivale a:

\left(\frac{1}{2}\right)^n < \frac{1}{100} \Rightarrow 2^n > 100

Testando as potências de 2:

2^6 = 64, que não é maior que 100.
2^7 = 128, que é maior que 100.

Logo, é preciso um total de n = 7 placas.

O restaurante já tem 1 placa. O enunciado pergunta quantas placas novas devem ser instaladas, então:

7 - 1 = 6

São necessárias 6 novas placas.

Alternativa D.

Pegadinha: A alternativa que engana é a E, ao ignorar a placa já existente: o cálculo dá 7 placas no total, mas o enunciado pede só as novas, ou seja, 6 e não 7.

Por que as outras alternativas estão erradas

AConfunde a probabilidade \frac{99}{100} com a quantidade de placas, sem usar o evento complementar.
BTrata a probabilidade como soma de \frac{1}{2} por placa, chegando a um valor sem base no cálculo.
CTambém soma probabilidades em vez de usar o complementar \left(\frac{1}{2}\right)^n.
EUma placa nova daria 2 no total, com probabilidade \frac{3}{4}, muito abaixo de \frac{99}{100}.

Assuntos: Eventos sucessivos e distribuição binomial, Probabilidade: conceitos básicos.

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Questão 159 no caderno Azul do ENEM 2019

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