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Questão 154 do ENEM 2019

2º dia · Matemática · H21 · Matemática: Logaritmos e função logarítmica

Charles Richter e Beno Gutenberg desenvolveram a escala Richter, que mede a magnitude de um terremoto. Essa escala pode variar de 0 a 10, com possibilidades de valores maiores. O quadro mostra a escala de magnitude local (\text{M}_\text{s}) de um terremoto que é utilizada para descrevê-lo.

Descrição Magnitude local (\text{M}_\text{s})
(\text{µm} \times \text{Hz})
Pequeno 0 \le \text{M}_\text{s} \le 3{,}9
Ligeiro 4{,}0 \le \text{M}_\text{s} \le 4{,}9
Moderado 5{,}0 \le \text{M}_\text{s} \le 5{,}9
Grande 6{,}0 \le \text{M}_\text{s} \le 9{,}9
Extremo \text{M}_\text{s} \ge 10{,}0

Para se calcular a magnitude local, usa-se a fórmula \text{M}_\text{s} = 3{,}30 + \log(A \cdot f), em que A representa a amplitude máxima da onda registrada por um sismógrafo em micrômetro (\text{µm}) e f representa a frequência da onda, em hertz (\text{Hz}). Ocorreu um terremoto com amplitude máxima de 2\ 000\ \mu\text{m} e frequência de 0{,}2\ \text{Hz}.

Disponível em: http://cejarj.cecierj.edu.br. Acesso em: 1 fev. 2015 (adaptado).

Utilize 0{,}3 como aproximação para \log 2.

De acordo com os dados fornecidos, o terremoto ocorrido pode ser descrito como

  1. A
    Pequeno.
  2. B
    Ligeiro.
  3. C
    Moderado.
  4. D
    Grande.
  5. E
    Extremo.
Escolha uma alternativa para conferir o gabarito.
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Resolução comentada

A fórmula da magnitude local é M_s = 3{,}30 + \log(A\cdot f). Basta substituir os valores e usar as propriedades do logaritmo.

  1. Produto A\cdot f: 2\,000 \cdot 0{,}2 = 400.

  2. Escreva 400 como 4 \cdot 10^2 = 2^2\cdot 10^2.

  3. Aplique as propriedades \log(a\cdot b)=\log a+\log b e \log a^n = n\log a:

    \log 400 = 2\log 2 + 2\log 10 = 2(0{,}3) + 2(1) = 2{,}6

  4. Some ao valor da fórmula:

    M_s = 3{,}30 + 2{,}6 = 5{,}9

  5. Consulte o quadro: 5{,}0 \le 5{,}9 \le 5{,}9 corresponde à descrição "Moderado".

Como 5{,}9 está no limite superior da faixa, vale conferir a conta: qualquer erro de arredondamento poderia levá-lo à faixa "Grande", mas com a aproximação dada o resultado é exatamente 5{,}9.

Alternativa C.

Pegadinha: O resultado 5,9 fica no limite entre Moderado e Grande; quem arredonda para 6,0 marca D por engano.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • AEsquece de somar o logaritmo ou erra o cálculo de \log 400, obtendo valor abaixo de 3,9.
  • BCalcula \log 400 com valor muito baixo (por exemplo, só \log 4 ou \log 40), resultando entre 4,0 e 4,9.
  • DErra ao usar \log 400 = 3{,}6 ou arredonda 5,9 para 6,0, caindo na faixa Grande.
  • ETrata \log(A\cdot f) como o próprio produto 400 ou ignora o logaritmo, obtendo valor enorme.

Assunto: Logaritmos e função logarítmica.

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