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Questão 142 do ENEM 2019

2º dia · Matemática · H9 · Matemática: Círculo: comprimento, arcos e áreas

Em um condomínio, uma área pavimentada, que tem a forma de um círculo com diâmetro medindo 6 m, é cercada por grama. A administração do condomínio deseja ampliar essa área, mantendo seu formato circular, e aumentando, em 8 m, o diâmetro dessa região, mantendo o revestimento da parte já existente. O condomínio dispõe, em estoque, de material suficiente para pavimentar mais 100\ \text{m}^2 de área. O síndico do condomínio irá avaliar se esse material disponível será suficiente para pavimentar a região a ser ampliada.

Utilize 3 como aproximação para \pi.

A conclusão correta a que o síndico deverá chegar, considerando a nova área a ser pavimentada, é a de que o material disponível em estoque

  1. A
    será suficiente, pois a área da nova região a ser pavimentada mede 21\ \text{m}^2.
  2. B
    será suficiente, pois a área da nova região a ser pavimentada mede 24\ \text{m}^2.
  3. C
    será suficiente, pois a área da nova região a ser pavimentada mede 48\ \text{m}^2.
  4. D
    não será suficiente, pois a área da nova região a ser pavimentada mede 108\ \text{m}^2.
  5. E
    não será suficiente, pois a área da nova região a ser pavimentada mede 120\ \text{m}^2.
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Resolução comentada

A área de um círculo é A = \pi r^2, com r o raio (metade do diâmetro). O material só serve para a parte nova, pois a parte já existente continua com o revestimento atual.

  1. Círculo original: diâmetro 6\ \text{m}, raio 3\ \text{m}.

    A_1 = 3 \cdot 3^2 = 27\ \text{m}^2

  2. O diâmetro aumenta 8\ \text{m}: passa a 6 + 8 = 14\ \text{m}, raio 7\ \text{m}.

    A_2 = 3 \cdot 7^2 = 147\ \text{m}^2

  3. Área a pavimentar (a coroa circular):

    A_2 - A_1 = 147 - 27 = 120\ \text{m}^2

  4. Comparação com o estoque: 120\ \text{m}^2 > 100\ \text{m}^2, então o material não é suficiente.

Alternativa E.

Pegadinha: O aumento de 8 m é no diâmetro, não no raio; e é preciso subtrair a área já pavimentada, senão se compara 147\ \text{m}^2 ao estoque.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • AÁrea e conclusão erradas; 21\ \text{m}^2 não resulta de nenhum cálculo correto e o material não basta.
  • BValor sem base no problema e conclusão errada, pois a área necessária passa de 100\ \text{m}^2.
  • CValor sem base no problema e conclusão errada, pois a área necessária passa de 100\ \text{m}^2.
  • DChega a 108\ \text{m}^2 ao usar raios errados (por exemplo, aumentando o raio em 8 m em vez do diâmetro); a área correta é 120\ \text{m}^2.

Assunto: Círculo: comprimento, arcos e áreas.

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