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Questão 139 do ENEM 2019

2º dia · Matemática · H15 · Matemática: Função afim

Uma empresa presta serviço de abastecimento de água em uma cidade. O valor mensal a pagar por esse serviço é determinado pela aplicação de tarifas, por faixas de consumo de água, sendo obtido pela adição dos valores correspondentes a cada faixa.

• Faixa 1: para consumo de até 6\ \text{m}^3, valor fixo de R$ 12,00;
• Faixa 2: para consumo superior a 6\ \text{m}^3 e até 10\ \text{m}^3, tarifa de R$ 3,00 por metro cúbico ao que exceder a 6\ \text{m}^3;
• Faixa 3: para consumo superior a 10\ \text{m}^3, tarifa de R$ 6,00 por metro cúbico ao que exceder a 10\ \text{m}^3.

Sabe-se que nessa cidade o consumo máximo de água por residência é de 15\ \text{m}^3 por mês.

O gráfico que melhor descreve o valor P, em real, a ser pago por mês, em função do volume V de água consumido, em metro cúbico, é

  1. A
    Gráfico de P (R$) em função de V (m³), com 0 e 15 indicados no eixo horizontal. O valor permanece constante até V = 6, cresce linearmente de V = 6 a V = 10 e cresce com maior inclinação de V = 10 a V = 15.
  2. B
    Gráfico de P (R$) em função de V (m³), com 0 e 15 indicados no eixo horizontal. O valor permanece constante até V = 6, cresce linearmente de V = 6 a V = 10 e continua crescendo com menor inclinação até V = 15.
  3. C
    Gráfico de P (R$) em função de V (m³), com 0 e 15 indicados no eixo horizontal. O valor permanece constante até V = 6, cresce linearmente de V = 6 a V = 10 e permanece constante até V = 15.
  4. D
    Gráfico de P (R$) em função de V (m³), com 0 e 15 indicados no eixo horizontal. O valor permanece constante até V = 6 e cresce linearmente, com inclinação constante, de V = 6 a V = 15.
  5. E
    Gráfico de P (R$) em função de V (m³), com 0 e 15 indicados no eixo horizontal. O valor já cresce de V = 0 a V = 6, passa a crescer com maior inclinação de V = 6 a V = 10 e com inclinação ainda maior de V = 10 a V = 15.
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Resolução comentada

O valor a pagar é uma função definida por partes. Cada faixa dá um trecho do gráfico: constante quando há valor fixo e reta crescente quando há tarifa por metro cúbico. A inclinação da reta é a tarifa.

  1. Faixa 1 (0 \le V \le 6): P = 12. O gráfico é um segmento horizontal em R$ 12,00.
  2. Faixa 2 (6 < V \le 10): P = 12 + 3(V-6). A inclinação é 3. Em V=10: P = 12 + 3\cdot 4 = 24.
  3. Faixa 3 (10 < V \le 15): P = 24 + 6(V-10). A inclinação é 6, maior que a anterior. Em V=15: P = 24 + 6\cdot 5 = 54.

O gráfico correto tem, então, três trechos ligados, sem saltos:

  • horizontal até V=6;
  • crescente com inclinação 3 de 6 a 10;
  • crescente com inclinação 6 (mais íngreme) de 10 a 15.

Como a cobrança é feita por adição dos valores de cada faixa, o valor nunca diminui nem fica constante depois de V=6. O consumo máximo de 15\ \text{m}^3 limita o gráfico em V=15.

A única figura com trecho horizontal inicial e inclinações crescentes é a da alternativa A.

Alternativa A.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • BMostra a última faixa com inclinação menor que a anterior, mas a tarifa sobe de R$ 3,00 para R$ 6,00.
  • CDeixa o valor constante após 10 m³, ignorando a cobrança da faixa 3.
  • DUsa uma única inclinação de 6 a 15, ignorando que as tarifas das faixas 2 e 3 são diferentes.
  • EFaz o valor crescer já antes de 6 m³, mas a faixa 1 é um valor fixo de R$ 12,00.

Assunto: Função afim.

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