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Questão 137 do ENEM 2019

2º dia · Matemática · H21 · Matemática: Logaritmos e função logarítmica

A Hydrangea macrophylla é uma planta com flor azul ou cor-de-rosa, dependendo do pH do solo no qual está plantada. Em solo ácido (ou seja, com \text{pH} < 7) a flor é azul, enquanto que em solo alcalino (ou seja, com \text{pH} > 7) a flor é rosa. Considere que a Hydrangea cor-de-rosa mais valorizada comercialmente numa determinada região seja aquela produzida em solo com pH inferior a 8. Sabe-se que \text{pH} = -\log_{10}x, em que x é a concentração de íon hidrogênio (\ce{H+}).

Para produzir a Hydrangea cor-de-rosa de maior valor comercial, deve-se preparar o solo de modo que x assuma

  1. A
    qualquer valor acima de 10^{-8}.
  2. B
    qualquer valor positivo inferior a 10^{-7}.
  3. C
    valores maiores que 7 e menores que 8.
  4. D
    valores maiores que 70 e menores que 80.
  5. E
    valores maiores que 10^{-8} e menores que 10^{-7}.
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Resolução comentada

A flor rosa exige solo alcalino, ou seja, \text{pH} > 7. A de maior valor comercial exige ainda \text{pH} < 8. Então:

7 < \text{pH} < 8

Como \text{pH} = -\log_{10} x, substituímos:

7 < -\log_{10} x < 8
  1. Multiplicando tudo por -1, as desigualdades se invertem: -8 < \log_{10} x < -7.
  2. A função 10^t é crescente, então podemos aplicá-la aos três termos sem inverter o sentido: 10^{-8} < x < 10^{-7}.

Portanto, x deve ficar entre 10^{-8} e 10^{-7}, sem incluir os extremos.

O cuidado é com a inversão: como o pH é o oposto do logaritmo, pH maior significa x menor. Por isso o pH entre 7 e 8 corresponde a concentrações entre 10^{-8} e 10^{-7}, e não entre 10^{7} e 10^{8}.

Alternativa E.

Pegadinha: As alternativas A e B são meias respostas, que usam só um dos limites do pH; a C e a D tratam os valores 7 e 8 como concentração em vez de pH.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • Aconsidera só pH < 8 (x > 10^-8) e esquece que a flor precisa ser rosa, isto é, pH > 7.
  • Bconsidera só pH > 7 (x < 10^-7) e ignora o limite pH < 8, que dá x > 10^-8.
  • Cconfunde x com o pH: 7 e 8 são valores de pH, não de concentração.
  • Dtambém confunde x com o pH, e ainda multiplica os valores por 10 sem justificativa.

Assunto: Logaritmos e função logarítmica.

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