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PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 172 do ENEM 2018

2º dia · Matemática · H25 · Matemática: Média aritmética e ponderada

Na teoria das eleições, o Método de Borda sugere que, em vez de escolher um candidato, cada juiz deve criar um ranking de sua preferência para os concorrentes (isto é, criar uma lista com a ordem de classificação dos concorrentes). A este ranking é associada uma pontuação: um ponto para o último colocado no ranking, dois pontos para o penúltimo, três para o antepenúltimo, e assim sucessivamente. Ao final, soma-se a pontuação atribuída a cada concorrente por cada um dos juízes.

Em uma escola houve um concurso de poesia no qual cinco alunos concorreram a um prêmio, sendo julgados por 25 juízes. Para a escolha da poesia vencedora foi utilizado o Método de Borda. Nos quadros, estão apresentados os rankings dos juízes e a frequência de cada ranking.

Colocação Ranking
I II III IV
1o Ana Dani Bia Edu
2o Bia Caio Ana Ana
3o Caio Edu Caio Dani
4o Dani Ana Edu Bia
5o Edu Bia Dani Caio
Ranking Frequência
I 4
II 9
III 7
IV 5

A poesia vencedora foi a de

  1. A
    Edu.
  2. B
    Dani.
  3. C
    Caio.
  4. D
    Bia.
  5. E
    Ana.
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Resolução comentada

No Método de Borda, o 1º lugar vale 5 pontos, o 2º vale 4, o 3º vale 3, o 4º vale 2 e o 5º vale 1. Cada ranking se repete pela sua frequência (I: 4 juízes, II: 9, III: 7, IV: 5, total de 25). Então, para cada aluno, multiplicamos os pontos que ele recebe em cada ranking pela frequência e somamos.

  1. Ana: I (1º, 5 pontos), II (4º, 2 pontos), III (2º, 4 pontos), IV (2º, 4 pontos):
    5\cdot4 + 2\cdot9 + 4\cdot7 + 4\cdot5 = 20+18+28+20 = 86.

  2. Bia: I (2º, 4), II (5º, 1), III (1º, 5), IV (4º, 2):
    4\cdot4 + 1\cdot9 + 5\cdot7 + 2\cdot5 = 16+9+35+10 = 70.

  3. Caio: I (3º, 3), II (2º, 4), III (3º, 3), IV (5º, 1):
    3\cdot4 + 4\cdot9 + 3\cdot7 + 1\cdot5 = 12+36+21+5 = 74.

  4. Dani: I (4º, 2), II (1º, 5), III (5º, 1), IV (3º, 3):
    2\cdot4 + 5\cdot9 + 1\cdot7 + 3\cdot5 = 8+45+7+15 = 75.

  5. Edu: I (5º, 1), II (3º, 3), III (4º, 2), IV (1º, 5):
    1\cdot4 + 3\cdot9 + 2\cdot7 + 5\cdot5 = 4+27+14+25 = 70.

Conferência: a soma total deve ser 25\cdot15=375, e 86+70+74+75+70=375.

A maior pontuação é a de Ana, com 86 pontos.

Alternativa E.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • AEdu tem só 70 pontos; ele vence apenas no ranking IV, de frequência baixa.
  • BDani soma 75 pontos; é 1º só no ranking II, mas é muito mal colocada nos demais.
  • CCaio soma 74 pontos, abaixo de Ana.
  • DBia soma 70 pontos; ganha no ranking III, mas vai mal no II, o mais frequente.

Assuntos: Média aritmética e ponderada, Tabelas e distribuição de frequências.

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