Questão 161 do ENEM 2018

Question

Para apagar os focos A e B de um incêndio, que estavam a uma distância de 30\text{ m} um do outro, os bombeiros de um quartel decidiram se posicionar de modo que a distância de um bombeiro ao foco A, de temperatura mais elevada, fosse sempre o dobro da distância desse bombeiro ao foco B, de temperatura menos elevada.

Nestas condições, a maior distância, em metro, que dois bombeiros poderiam ter entre eles é

A
30.
B
40.
C
45.
D
60.
E
68.

Answer 1

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Questão 161 do ENEM 2018

2º dia · Matemática · H22 · Matemática: Cônicas e lugares geométricos

Para apagar os focos A e B de um incêndio, que estavam a uma distância de 30\text{ m} um do outro, os bombeiros de um quartel decidiram se posicionar de modo que a distância de um bombeiro ao foco A, de temperatura mais elevada, fosse sempre o dobro da distância desse bombeiro ao foco B, de temperatura menos elevada.

Nestas condições, a maior distância, em metro, que dois bombeiros poderiam ter entre eles é

A
30.
B
40.
C
45.
D
60.
E
68.

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Resolução comentada

Os bombeiros ficam em pontos P tais que PA = 2\cdot PB. Esse conjunto de pontos é uma circunferência (circunferência de Apolônio). A maior distância entre dois bombeiros é o diâmetro dela.\n\nColoque A na origem e B em (30,0). Para um ponto P=(x,y):\n\n1. PA^2 = 4\cdot PB^2, ou seja, x^2+y^2 = 4\left[(x-30)^2+y^2\right].\n2. Desenvolvendo: x^2+y^2 = 4x^2 - 240x + 3600 + 4y^2.\n3. Reorganizando: 3x^2+3y^2-240x+3600=0, isto é, x^2+y^2-80x+1200=0.\n4. Completando o quadrado: (x-40)^2+y^2 = 1600-1200 = 400.\n\nA circunferência tem centro (40,0) e raio 20, logo o diâmetro é 40\ \text{m}.\n\nConferência pelos pontos da reta AB: um ponto entre A e B com x = 2(30-x) dá x=20; um ponto além de B com x = 2(x-30) dá x=60. A distância entre eles é 60-20=40\ \text{m}, o que confirma o diâmetro.\n\nAlternativa B.

Pegadinha: A alternativa D engana: 60 m é a distância de A ao ponto da reta AB além de B, mas o diâmetro vai de 20 a 60, dando 40.

Por que as outras alternativas estão erradas

AUsa apenas a distância entre os focos A e B, sem considerar o lugar geométrico dos bombeiros.
CNão corresponde a nenhum ponto ou medida da circunferência; resulta de erro de cálculo.
DÉ a distância de A ao ponto externo (x=60), não o diâmetro da circunferência.
ENão decorre da equação da circunferência; valor sem base no problema.

Assunto: Cônicas e lugares geométricos.

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