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PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 162 do ENEM 2018

2º dia · Matemática · H2 · Matemática: Progressão geométrica

Torneios de tênis, em geral, são disputados em sistema de eliminatória simples. Nesse sistema, são disputadas partidas entre dois competidores, com a eliminação do perdedor e promoção do vencedor para a fase seguinte. Dessa forma, se na 1a fase o torneio conta com 2n competidores, então na 2a fase restarão n competidores, e assim sucessivamente até a partida final.

Em um torneio de tênis, disputado nesse sistema, participam 128 tenistas.

Para se definir o campeão desse torneio, o número de partidas necessárias é dado por

  1. A
    2 \times 128
  2. B
    64 + 32 + 16 + 8 + 4 + 2
  3. C
    128 + 64 + 32 + 16 + 8 + 4 + 2 + 1
  4. D
    128 + 64 + 32 + 16 + 8 + 4 + 2
  5. E
    64 + 32 + 16 + 8 + 4 + 2 + 1
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Resolução comentada

Em cada partida, dois tenistas se enfrentam e um é eliminado. Então o número de partidas de cada fase é a metade do número de competidores que a disputam.

Contando fase por fase:

  1. 1ª fase: 128 tenistas, logo 128 \div 2 = 64 partidas, e restam 64.
  2. 2ª fase: 64 tenistas, logo 32 partidas, e restam 32.
  3. 3ª fase: 32 tenistas, logo 16 partidas, e restam 16.
  4. 4ª fase: 16 tenistas, logo 8 partidas, e restam 8.
  5. 5ª fase: 8 tenistas, logo 4 partidas, e restam 4.
  6. 6ª fase: 4 tenistas, logo 2 partidas (semifinais), e restam 2.
  7. 7ª fase: 2 tenistas, logo 1 partida (a final), e sobra o campeão.

O total de partidas é:

64 + 32 + 16 + 8 + 4 + 2 + 1

Conferência: essa soma dá 127, que é 128 − 1. Isso faz sentido, pois é preciso eliminar 127 tenistas para restar só o campeão, e cada partida elimina exatamente um.

A soma que inclui a final (o termo 1) e começa em 64 é a da alternativa E.

Alternativa E.

Pegadinha: A alternativa B engana quem esquece a final, e a C e a D enganam quem confunde número de tenistas (128) com número de partidas (64) na 1ª fase.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • A2 \times 128 não corresponde a nada no torneio; o total de partidas é 127.
  • BEsquece a final, que é a última partida (1 partida).
  • CComeça em 128, contando como partidas o número de competidores, e inclui o 1 do campeão; passa de 127.
  • DComeça em 128 (número de tenistas, não de partidas) e ainda omite a final.

Assunto: Progressão geométrica.

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