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PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 150 do ENEM 2018

2º dia · Matemática · H29 · Matemática: Eventos sucessivos e distribuição binomial

Para ganhar um prêmio, uma pessoa deverá retirar, sucessivamente e sem reposição, duas bolas pretas de uma mesma urna.

Inicialmente, as quantidades e cores das bolas são como descritas a seguir:

• Urna A – Possui três bolas brancas, duas bolas pretas e uma bola verde;
• Urna B – Possui seis bolas brancas, três bolas pretas e uma bola verde;
• Urna C – Possui duas bolas pretas e duas bolas verdes;
• Urna D – Possui três bolas brancas e três bolas pretas.

A pessoa deve escolher uma entre as cinco opções apresentadas:

• Opção 1 – Retirar, aleatoriamente, duas bolas da urna A;
• Opção 2 – Retirar, aleatoriamente, duas bolas da urna B;
• Opção 3 – Passar, aleatoriamente, uma bola da urna C para a urna A; após isso, retirar, aleatoriamente, duas bolas da urna A;
• Opção 4 – Passar, aleatoriamente, uma bola da urna D para a urna C; após isso, retirar, aleatoriamente, duas bolas da urna C;
• Opção 5 – Passar, aleatoriamente, uma bola da urna C para a urna D; após isso, retirar, aleatoriamente, duas bolas da urna D.

Com o objetivo de obter a maior probabilidade possível de ganhar o prêmio, a pessoa deve escolher a opção

  1. A
    1.
  2. B
    2.
  3. C
    3.
  4. D
    4.
  5. E
    5.
Escolha uma alternativa para conferir o gabarito.
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Resolução comentada

Precisamos da probabilidade de sair preta duas vezes, sem reposição, em cada opção: P = \frac{p}{n}\cdot\frac{p-1}{n-1}, em que p é o número de pretas e n o total de bolas.

  1. Opção 1 (urna A: 2 pretas em 6): \frac{2}{6}\cdot\frac{1}{5}=\frac{1}{15}\approx 0{,}067.

  2. Opção 2 (urna B: 3 pretas em 10): \frac{3}{10}\cdot\frac{2}{9}=\frac{1}{15}\approx 0{,}067.

  3. Opção 3: passa uma bola de C (2 pretas, 2 verdes) para A.

  • Se a bola for preta (prob. \frac{1}{2}): A fica com 3 pretas em 7, então \frac{3}{7}\cdot\frac{2}{6}=\frac{1}{7}.
  • Se for verde (prob. \frac{1}{2}): A fica com 2 pretas em 7, então \frac{2}{7}\cdot\frac{1}{6}=\frac{1}{21}.
  • Total: \frac{1}{2}\left(\frac{1}{7}+\frac{1}{21}\right)=\frac{1}{2}\cdot\frac{4}{21}=\frac{2}{21}\approx 0{,}095.
  1. Opção 4: passa uma bola de D (3 brancas, 3 pretas) para C.
  • Preta (prob. \frac{1}{2}): C fica com 3 pretas em 5, então \frac{3}{5}\cdot\frac{2}{4}=\frac{3}{10}.
  • Branca (prob. \frac{1}{2}): C fica com 2 pretas em 5, então \frac{2}{5}\cdot\frac{1}{4}=\frac{1}{10}.
  • Total: \frac{1}{2}\left(\frac{3}{10}+\frac{1}{10}\right)=\frac{1}{5}=0{,}2.
  1. Opção 5: passa uma bola de C para D.
  • Preta (prob. \frac{1}{2}): D fica com 4 pretas em 7, então \frac{4}{7}\cdot\frac{3}{6}=\frac{2}{7}.
  • Verde (prob. \frac{1}{2}): D fica com 3 pretas em 7, então \frac{3}{7}\cdot\frac{2}{6}=\frac{1}{7}.
  • Total: \frac{1}{2}\cdot\frac{3}{7}=\frac{3}{14}\approx 0{,}214.

Comparando: 0{,}067;\ 0{,}067;\ 0{,}095;\ 0{,}2;\ 0{,}214. A maior é a da opção 5.

Alternativa E.

Pegadinha: As opções 4 e 5 ficam muito próximas (0,2 contra cerca de 0,214); quem não faz as contas exatas ou esquece de ponderar os dois casos da bola transferida pode escolher a D.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • ADá \frac{1}{15}, a menor probabilidade, empatada com a opção 2.
  • BTambém dá \frac{1}{15}; a urna B tem muitas bolas e poucas pretas.
  • CDá \frac{2}{21}\approx 0{,}095, bem menor que as opções 4 e 5.
  • DDá 0{,}2, muito próximo, mas menor que \frac{3}{14}\approx 0{,}214 da opção 5.

Assuntos: Eventos sucessivos e distribuição binomial, Probabilidade: conceitos básicos.

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