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PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 141 do ENEM 2018

2º dia · Matemática · H3 · Matemática: Progressão aritmética

A prefeitura de um pequeno município do interior decide colocar postes para iluminação ao longo de uma estrada retilínea, que inicia em uma praça central e termina numa fazenda na zona rural. Como a praça já possui iluminação, o primeiro poste será colocado a 80 metros da praça, o segundo, a 100 metros, o terceiro, a 120 metros, e assim sucessivamente, mantendo-se sempre uma distância de vinte metros entre os postes, até que o último poste seja colocado a uma distância de 1 380 metros da praça.

Se a prefeitura pode pagar, no máximo, R$ 8 000,00 por poste colocado, o maior valor que poderá gastar com a colocação desses postes é

  1. A
    R$ 512 000,00.
  2. B
    R$ 520 000,00.
  3. C
    R$ 528 000,00.
  4. D
    R$ 552 000,00.
  5. E
    R$ 584 000,00.
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Resolução comentada

As distâncias dos postes à praça formam uma progressão aritmética (PA): 80, 100, 120, ... com razão r = 20, pois a distância entre postes é sempre a mesma. O último termo é a_n = 1\,380.

O gasto máximo é o número de postes multiplicado por R$ 8 000,00. Então falta descobrir quantos postes existem, isto é, o valor de n.

  1. Fórmula do termo geral: a_n = a_1 + (n-1)\cdot r.
  2. Substituindo: 1\,380 = 80 + (n-1)\cdot 20.
  3. Isolando: 1\,300 = (n-1)\cdot 20, logo n-1 = 65.
  4. Portanto n = 66 postes.

Conferindo: de 80 a 1 380 há 1\,300 m, que dão 65 intervalos de 20 m. Com 65 intervalos, há 66 postes (um a mais que os intervalos).

Gasto máximo:

66 \cdot 8\,000 = 528\,000

O maior valor que a prefeitura poderá gastar é R$ 528 000,00.

Alternativa C.

Pegadinha: A alternativa B engana: 1 300 ÷ 20 = 65 é o número de intervalos, e o número de postes é 66 (falta somar o primeiro).

Por que as outras alternativas estão erradas

  • AUsa 64 postes, errando a contagem dos termos da PA.
  • BUsa 65 postes, contando só os intervalos e esquecendo o primeiro poste.
  • DUsa 69 postes, o que não corresponde à PA.
  • EUsa 73 postes, valor sem base na contagem correta.

Assunto: Progressão aritmética.

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