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Questão 142 do ENEM 2018

2º dia · Matemática · H20 · Matemática: Grandezas proporcionais e divisão proporcional

De acordo com a Lei Universal da Gravitação, proposta por Isaac Newton, a intensidade da força gravitacional F que a Terra exerce sobre um satélite em órbita circular é proporcional à massa m do satélite e inversamente proporcional ao quadrado do raio r da órbita, ou seja,

F = \frac{km}{r^2}

No plano cartesiano, três satélites, A, B e C, estão representados, cada um, por um ponto (m\ ;\ r) cujas coordenadas são, respectivamente, a massa do satélite e o raio da sua órbita em torno da Terra.

Raio (r)
Plano cartesiano com Raio (r) no eixo vertical e Massa (m) no eixo horizontal, partindo da origem 0. O ponto A tem coordenadas intermediárias; o ponto C está alinhado verticalmente a A (mesma massa) em uma posição superior (maior raio); o ponto B está alinhado horizontalmente a A (mesmo raio) em uma posição à direita (maior massa). Linhas tracejadas ligam os pontos C a A e A a B.

Com base nas posições relativas dos pontos no gráfico, deseja-se comparar as intensidades F_A, F_B e F_C da força gravitacional que a Terra exerce sobre os satélites A, B e C, respectivamente.

As intensidades F_A, F_B e F_C expressas no gráfico satisfazem a relação

  1. A
    F_C = F_A < F_B
  2. B
    F_A = F_B < F_C
  3. C
    F_A < F_B < F_C
  4. D
    F_A < F_C < F_B
  5. E
    F_C < F_A < F_B
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Resolução comentada

A força é F = \frac{km}{r^2}, com k constante. Ela cresce quando a massa aumenta e diminui quando o raio aumenta. Basta comparar os pontos dois a dois, lendo as coordenadas (m; r) no gráfico.

  1. A e B: têm o mesmo raio r, mas B está mais à direita, ou seja, m_B > m_A. Com r igual, a força é proporcional à massa, então F_B > F_A.

  2. A e C: têm a mesma massa m, mas C está mais acima, ou seja, r_C > r_A. Com m igual, quanto maior o raio, menor a força (inversamente proporcional a r^2), então F_C < F_A.

  3. Juntando: F_C < F_A e F_A < F_B, logo

F_C < F_A < F_B

Não há dúvida sobre F_C e F_B: B tem massa maior e raio menor que C, então F_B é maior que F_C, o que confirma a ordem.

Alternativa E.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • ASupõe F_C = F_A, ignorando que o raio de C é maior e, portanto, a força é menor.
  • BSupõe F_A = F_B, ignorando que B tem massa maior com o mesmo raio, e coloca F_C como maior, invertendo a relação com o raio.
  • CTrata a força como crescente com o raio, quando ela é inversamente proporcional a r^2.
  • DColoca F_C maior que F_A, invertendo o efeito do raio sobre a força.

Assuntos: Grandezas proporcionais e divisão proporcional, Leitura e interpretação de gráficos.

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