Questão 138 do ENEM 2018

Question

Um jogo pedagógico utiliza-se de uma interface algébrico-geométrica do seguinte modo: os alunos devem eliminar os pontos do plano cartesiano dando “tiros”, seguindo trajetórias que devem passar pelos pontos escolhidos. Para dar os tiros, o aluno deve escrever em uma janela do programa a equação cartesiana de uma reta ou de uma circunferência que passa pelos pontos e pela origem do sistema de coordenadas. Se o tiro for dado por meio da equação da circunferência, cada ponto diferente da origem que for atingido vale 2 pontos. Se o tiro for dado por meio da equação de uma reta, cada ponto diferente da origem que for atingido vale 1 ponto. Em uma situação de jogo, ainda restam os seguintes pontos para serem eliminados: A(0\,;\,4), B(4\,;\,4), C(4\,;\,0), D(2\,;\,2) e E(0\,;\,2).

Plano cartesiano com eixos x e y e grade tracejada; os pontos marcados são A(0, 4), B(4, 4), C(4, 0), D(2, 2) e E(0, 2), além da origem.

Passando pelo ponto A, qual equação forneceria a maior pontuação?

A
x = 0
B
y = 0
C
x^2 + y^2 = 16
D
x^2 + (y - 2)^2 = 4
E
(x - 2)^2 + (y - 2)^2 = 8

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 138 do ENEM 2018

2º dia · Matemática · H22 · Matemática: Equação da circunferência

Um jogo pedagógico utiliza-se de uma interface algébrico-geométrica do seguinte modo: os alunos devem eliminar os pontos do plano cartesiano dando “tiros”, seguindo trajetórias que devem passar pelos pontos escolhidos. Para dar os tiros, o aluno deve escrever em uma janela do programa a equação cartesiana de uma reta ou de uma circunferência que passa pelos pontos e pela origem do sistema de coordenadas. Se o tiro for dado por meio da equação da circunferência, cada ponto diferente da origem que for atingido vale 2 pontos. Se o tiro for dado por meio da equação de uma reta, cada ponto diferente da origem que for atingido vale 1 ponto. Em uma situação de jogo, ainda restam os seguintes pontos para serem eliminados: A(0\,;\,4), B(4\,;\,4), C(4\,;\,0), D(2\,;\,2) e E(0\,;\,2).

Plano cartesiano com eixos x e y e grade tracejada; os pontos marcados são A(0, 4), B(4, 4), C(4, 0), D(2, 2) e E(0, 2), além da origem.

Passando pelo ponto A, qual equação forneceria a maior pontuação?

A
x = 0
B
y = 0
C
x^2 + y^2 = 16
D
x^2 + (y - 2)^2 = 4
E
(x - 2)^2 + (y - 2)^2 = 8

Escolha uma alternativa para conferir o gabarito.

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Resolução comentada

Cada equação deve passar por A(0;4). Depois, contamos os pontos atingidos (fora a origem): círculo vale 2 pontos por ponto, reta vale 1.

Para testar se um ponto está na curva, substituímos suas coordenadas na equação.

(A) x=0 é o eixo y. Passa por A e por E: 2 pontos, ou seja, 2 pontos no jogo.

(B) y=0 é o eixo x. Não passa por A (y=4). Descartada.

(C) x^2+y^2=16: A vale 0+16=16 (sim). B: 16+16=32 (não). C: 16+0=16 (sim). D: 4+4=8 (não). E: 0+4=4 (não). Como a origem não satisfaz (0\neq16), essa circunferência nem passa pela origem, mas o enunciado pede que passe; mesmo assim, atinge A e C: 4 pontos, se fosse válida.

(D) x^2+(y-2)^2=4: origem: 0+4=4 (sim). A: 0+4=4 (sim). E: 0+0=0 (não). B: 16+4 (não). C: 16+4 (não). D: 4+0=4 (sim). Atinge A e D: 4 pontos.

(E) (x-2)^2+(y-2)^2=8: origem: 4+4=8 (sim). A: 4+4=8 (sim). B: 4+4=8 (sim). C: 4+4=8 (sim). D: 0 (não). E: 4+0=4 (não). Atinge A, B e C: 3\times2=6 pontos.

A maior pontuação é a da circunferência (E), com 6 pontos.

Alternativa E.

Pegadinha: A alternativa D engana: E(0;2) é o centro da circunferência, não um ponto dela, então ela não o atinge.

Por que as outras alternativas estão erradas

AA reta x=0 atinge só A e E, valendo 2 pontos.
BO eixo x não passa por A(0;4).
CA circunferência de raio 4 não passa pela origem e atinge só A e C, valendo 4 pontos.
DAtinge apenas A e D (4 pontos); E é o centro, não está na curva.

Assunto: Equação da circunferência.

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Questão 138 no caderno Azul do ENEM 2018

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