Questão 137 do ENEM 2018

Question

Um contrato de empréstimo prevê que quando uma parcela é paga de forma antecipada, conceder-se-á uma redução de juros de acordo com o período de antecipação. Nesse caso, paga-se o valor presente, que é o valor, naquele momento, de uma quantia que deveria ser paga em uma data futura. Um valor presente P submetido a juros compostos com taxa i, por um período de tempo n, produz um valor futuro V determinado pela fórmula

V = P \times (1 + i)^n

Em um contrato de empréstimo com sessenta parcelas fixas mensais, de R$ 820,00, a uma taxa de juros de 1,32% ao mês, junto com a trigésima parcela será paga antecipadamente uma outra parcela, desde que o desconto seja superior a 25% do valor da parcela.

Utilize 0,2877 como aproximação para \ln \left(\frac{4}{3}\right) e 0,0131 como aproximação para \ln (1{,}0132).

A primeira das parcelas que poderá ser antecipada junto com a 30^a é a

A
56^a
B
55^a
C
52^a
D
51^a
E
45^a

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 137 do ENEM 2018

2º dia · Matemática · H18 · Matemática: Juros simples e compostos

Um contrato de empréstimo prevê que quando uma parcela é paga de forma antecipada, conceder-se-á uma redução de juros de acordo com o período de antecipação. Nesse caso, paga-se o valor presente, que é o valor, naquele momento, de uma quantia que deveria ser paga em uma data futura. Um valor presente P submetido a juros compostos com taxa i, por um período de tempo n, produz um valor futuro V determinado pela fórmula

V = P \times (1 + i)^n

Em um contrato de empréstimo com sessenta parcelas fixas mensais, de R$ 820,00, a uma taxa de juros de 1,32% ao mês, junto com a trigésima parcela será paga antecipadamente uma outra parcela, desde que o desconto seja superior a 25% do valor da parcela.

Utilize 0,2877 como aproximação para \ln \left(\frac{4}{3}\right) e 0,0131 como aproximação para \ln (1{,}0132).

A primeira das parcelas que poderá ser antecipada junto com a 30^a é a

A
56^a
B
55^a
C
52^a
D
51^a
E
45^a

Escolha uma alternativa para conferir o gabarito.

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Resolução comentada

O valor presente é P = \frac{V}{(1+i)^n}, em que n é o número de meses de antecipação. Para haver desconto superior a 25%, o valor pago deve ser menor que 75% da parcela:

\frac{V}{(1+i)^n} < 0{,}75\,V \Rightarrow (1{,}0132)^n > \frac{4}{3}

Aplicando logaritmo natural nos dois lados:

n \cdot \ln(1{,}0132) > \ln\left(\frac{4}{3}\right)
n \cdot 0{,}0131 > 0{,}2877
n > \frac{0{,}2877}{0{,}0131} \approx 21{,}96

Como n é inteiro, n \geq 22 meses de antecipação.

A antecipação é contada a partir da 30ª parcela, que está sendo paga no momento. Uma parcela de número k é antecipada em n = k - 30 meses. Então:

k - 30 \geq 22 \Rightarrow k \geq 52

A primeira parcela que atende à condição é a 52ª. Conferindo: a 51ª tem n=21, e 21 < 21{,}96, então o desconto não passa de 25%.

Alternativa C.

Pegadinha: A alternativa D engana quem arredonda 21,96 para 21 (ou soma 22 a 30 errado); é preciso arredondar para cima, pois o desconto deve ser superior a 25%.

Por que as outras alternativas estão erradas

ANão corresponde ao cálculo; 56ª antecipa 26 meses, muito além do mínimo de 22.
B55ª antecipa 25 meses, também acima do mínimo; não é a primeira que serve.
D51ª antecipa 21 meses, e 21 < 21{,}96, então o desconto fica abaixo de 25%.
E45ª antecipa só 15 meses, insuficiente para desconto superior a 25%.

Assuntos: Juros simples e compostos, Logaritmos e função logarítmica.

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Questão 137 no caderno Azul do ENEM 2018

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