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PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 139 do ENEM 2018

2º dia · Matemática · H26 · Matemática: Círculo: comprimento, arcos e áreas

Sobre um sistema cartesiano considera-se uma malha formada por circunferências de raios com medidas dadas por números naturais e por 12 semirretas com extremidades na origem, separadas por ângulos de \frac{\pi}{6}\ \text{rad}, conforme a figura.

Malha cartesiana com eixos x e y numerados de −6 a 6, circunferências concêntricas de raios naturais e 12 semirretas partindo da origem. O ponto A está na circunferência de raio 6, na semirreta que forma 150° com o eixo x positivo; o ponto B está na circunferência de raio 4, na semirreta que forma 30° com esse eixo.

Suponha que os objetos se desloquem apenas pelas semirretas e pelas circunferências dessa malha, não podendo passar pela origem (0 ; 0).

Considere o valor de \pi com aproximação de, pelo menos, uma casa decimal.

Para realizar o percurso mais curto possível ao longo da malha, do ponto B até o ponto A, um objeto deve percorrer uma distância igual a

  1. A
    \dfrac{2\cdot\pi\cdot 1}{3}+8
  2. B
    \dfrac{2\cdot\pi\cdot 2}{3}+6
  3. C
    \dfrac{2\cdot\pi\cdot 3}{3}+4
  4. D
    \dfrac{2\cdot\pi\cdot 4}{3}+2
  5. E
    \dfrac{2\cdot\pi\cdot 5}{3}+2
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Resolução comentada

Cada ponto da malha fica a uma distância da origem (raio) e em uma direção (ângulo). B está no raio 4, a 30°; A está no raio 6, a 150°. A diferença angular é 150° - 30° = 120° = \frac{2\pi}{3} rad.

Como o objeto não pode passar pela origem, ele precisa combinar trechos em semirretas (comprimento = diferença de raios) com um arco de circunferência (comprimento = \theta \cdot r).

O arco de ângulo \frac{2\pi}{3} na circunferência de raio r mede \frac{2\pi}{3}\cdot r. Quanto menor o raio, menor o arco, mas é preciso andar na semirreta para chegar até esse raio e depois sair dele.

Se o arco for feito no raio r, com r \le 4, o objeto vai de B até o raio r (anda 4-r), faz o arco e sobe até o raio 6 (anda 6-r). O total é:

\frac{2\pi r}{3} + (4-r) + (6-r) = \frac{2\pi r}{3} + 10 - 2r

Como \pi \approx 3{,}14, o coeficiente de r é \frac{2\pi}{3}-2 \approx 0{,}09 > 0, então a distância cresce com r, e o menor valor ocorre no menor raio permitido, r=1:

\frac{2\pi\cdot 1}{3} + 10 - 2 = \frac{2\pi\cdot 1}{3} + 8

Fazer o arco em raio maior que 4 é pior, pois o arco aumenta e o trecho radial não diminui. Portanto o menor caminho é ir de B até o raio 1 (3 unidades), percorrer o arco de 120° nesse raio e subir até A (5 unidades), somando 8.

Alternativa A.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • Bfaz o arco no raio 2, que dá um percurso um pouco maior que o feito no raio 1.
  • Cfaz o arco no raio 3, com percurso maior que o mínimo.
  • Dfaz o arco no raio 4 (o de B), o que exige subir só 2 e não é o menor caminho.
  • Eusa arco de raio 5 e trecho radial incompatível com a malha, resultando em distância maior.

Assuntos: Círculo: comprimento, arcos e áreas, Razão e proporção.

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