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PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 178 do ENEM 2017

2º dia · Matemática · H24 · Matemática: Combinações e binômio de Newton

Como não são adeptos da prática de esportes, um grupo de amigos resolveu fazer um torneio de futebol utilizando videogame. Decidiram que cada jogador joga uma única vez com cada um dos outros jogadores. O campeão será aquele que conseguir o maior número de pontos. Observaram que o número de partidas jogadas depende do número de jogadores, como mostra o quadro:

Quantidade de jogadores 2 3 4 5 6 7
Número de partidas 1 3 6 10 15 21

Se a quantidade de jogadores for 8, quantas partidas serão realizadas?

  1. A
    64
  2. B
    56
  3. C
    49
  4. D
    36
  5. E
    28
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Resolução comentada

Cada jogador enfrenta cada um dos outros uma única vez, então o número de partidas é o número de pares de jogadores que se pode formar, ou seja, uma combinação de n jogadores tomados 2 a 2:

C_{n,2}=\frac{n(n-1)}{2}

Confirmando com o quadro: para n=4, \frac{4\cdot 3}{2}=6; para n=7, \frac{7\cdot 6}{2}=21. Está correto.

A fórmula tem o fator \frac{1}{2} porque a partida entre A e B é a mesma que entre B e A, e ela não pode ser contada duas vezes.

Outro modo de ver, pelo padrão do quadro: cada novo jogador que entra enfrenta todos os que já estavam. De 7 para 8 jogadores, o oitavo joga contra os 7 anteriores, então acrescentam-se 7 partidas: 21+7=28.

Para n=8:

  1. n(n-1)=8\cdot 7=56
  2. Dividindo por 2: \frac{56}{2}=28

Serão realizadas 28 partidas.

Alternativa E.

Pegadinha: A alternativa B (56) engana quem esquece de dividir por 2 e conta A×B e B×A como partidas diferentes.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • ACalcula 8^2, como se cada jogador enfrentasse todos, inclusive a si mesmo, com contagem em dobro.
  • BCalcula 8\cdot 7 e esquece de dividir por 2, contando cada partida duas vezes.
  • CCalcula 7^2, sem relação com a contagem de pares.
  • DCalcula 6^2, valor sem relação com o problema; o padrão do quadro leva a 28.

Assunto: Combinações e binômio de Newton.

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