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PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 177 do ENEM 2017

2º dia · Matemática · H5 · Matemática: Princípio fundamental da contagem

Uma empresa construirá sua página na internet e espera atrair um público de aproximadamente um milhão de clientes. Para acessar essa página, será necessária uma senha com formato a ser definido pela empresa. Existem cinco opções de formato oferecidas pelo programador, descritas no quadro, em que “L” e “D” representam, respectivamente, letra maiúscula e dígito.

Opção Formato
I LDDDDD
II DDDDDD
III LLDDDD
IV DDDDD
V LLLDD

As letras do alfabeto, entre as 26 possíveis, bem como os dígitos, entre os 10 possíveis, podem se repetir em qualquer das opções.

A empresa quer escolher uma opção de formato cujo número de senhas distintas possíveis seja superior ao número esperado de clientes, mas que esse número não seja superior ao dobro do número esperado de clientes.

A opção que mais se adequa às condições da empresa é

  1. A
    I.
  2. B
    II.
  3. C
    III.
  4. D
    IV.
  5. E
    V.
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Resolução comentada

Pelo princípio multiplicativo, o número de senhas de cada formato é o produto das possibilidades de cada posição: 26 para cada letra e 10 para cada dígito.

A empresa quer um total N tal que 1\,000\,000 < N \le 2\,000\,000.

  1. Opção I (LDDDDD): 26 \cdot 10^5 = 2\,600\,000. Passa de 2 milhões, então não serve.
  2. Opção II (DDDDDD): 10^6 = 1\,000\,000. É igual ao número de clientes, e não superior a ele, então não serve.
  3. Opção III (LLDDDD): 26^2 \cdot 10^4 = 676 \cdot 10^4 = 6\,760\,000. Passa de 2 milhões.
  4. Opção IV (DDDDD): 10^5 = 100\,000. É menor que 1 milhão.
  5. Opção V (LLLDD): 26^3 \cdot 10^2 = 17\,576 \cdot 100 = 1\,757\,600. Esse valor é maior que 1\,000\,000 e menor que 2\,000\,000, então atende às duas condições.

Só a opção V cumpre as duas condições.

Alternativa E.

Pegadinha: A alternativa B engana porque 10^6 é exatamente um milhão, e a condição exige um número estritamente maior que o de clientes.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • Agera 2.600.000 senhas, mais que o dobro de clientes (2.000.000).
  • Bgera exatamente 1.000.000 de senhas, que não é superior ao número de clientes.
  • Cgera 6.760.000 senhas, muito acima do dobro dos clientes.
  • Dgera apenas 100.000 senhas, insuficiente para os clientes.

Assunto: Princípio fundamental da contagem.

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Nos cadernos: Amarelo 140Cinza 136Azul 177Rosa 143