Questão 168 do ENEM 2017

Question

A Igreja de São Francisco de Assis, obra arquitetônica modernista de Oscar Niemeyer, localizada na Lagoa da Pampulha, em Belo Horizonte, possui abóbadas parabólicas. A seta na Figura 1 ilustra uma das abóbadas na entrada principal da capela. A Figura 2 fornece uma vista frontal desta abóbada, com medidas hipotéticas para simplificar os cálculos.

Desenho em perspectiva da estrutura da capela da Pampulha, com uma seta apontando para a abóbada parabólica da entrada principal.

Figura 1

Vista frontal da abóbada parabólica simétrica sobre o solo. À esquerda, uma cota vertical indica a altura H metros do vértice até o chão. Abaixo da parábola, há uma linha horizontal a 3 metros de altura, que intercepta a parábola a 4 metros de distância horizontal do eixo de simetria central. A base da abóbada toca o solo a 5 metros de distância do eixo central.

Qual a medida da altura H, em metro, indicada na Figura 2?

A
\dfrac{16}{3}
B
\dfrac{31}{5}
C
\dfrac{25}{4}
D
\dfrac{25}{3}
E
\dfrac{75}{2}

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 168 do ENEM 2017

2º dia · Matemática · H21 · Matemática: Função quadrática

A Igreja de São Francisco de Assis, obra arquitetônica modernista de Oscar Niemeyer, localizada na Lagoa da Pampulha, em Belo Horizonte, possui abóbadas parabólicas. A seta na Figura 1 ilustra uma das abóbadas na entrada principal da capela. A Figura 2 fornece uma vista frontal desta abóbada, com medidas hipotéticas para simplificar os cálculos.

Desenho em perspectiva da estrutura da capela da Pampulha, com uma seta apontando para a abóbada parabólica da entrada principal.

Figura 1

Vista frontal da abóbada parabólica simétrica sobre o solo. À esquerda, uma cota vertical indica a altura H metros do vértice até o chão. Abaixo da parábola, há uma linha horizontal a 3 metros de altura, que intercepta a parábola a 4 metros de distância horizontal do eixo de simetria central. A base da abóbada toca o solo a 5 metros de distância do eixo central.

Qual a medida da altura H, em metro, indicada na Figura 2?

A
\dfrac{16}{3}
B
\dfrac{31}{5}
C
\dfrac{25}{4}
D
\dfrac{25}{3}
E
\dfrac{75}{2}

Escolha uma alternativa para conferir o gabarito.

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Resolução comentada

Coloque a origem no solo, sobre o eixo de simetria. A parábola tem vértice em (0, H) e é do tipo y = ax^2 + H, com a<0.

A figura dá dois pontos da curva:

a base toca o solo a 5 m do eixo: (5, 0);
a linha a 3 m de altura cruza a parábola a 4 m do eixo: (4, 3).

Substituindo cada ponto na equação:

0 = 25a + H \Rightarrow H = -25a
3 = 16a + H

Substituindo H da primeira na segunda:

3 = 16a - 25a = -9a \Rightarrow a = -\dfrac{1}{3}

Logo:

H = -25 \cdot \left(-\dfrac{1}{3}\right) = \dfrac{25}{3}

Conferindo: y(4) = -\dfrac{16}{3} + \dfrac{25}{3} = \dfrac{9}{3} = 3. Está correto.

Alternativa D.

Por que as outras alternativas estão erradas

AValor sem relação com o sistema; parece usar apenas 16/3, que é -16a sem somar H.
BResultado de erro de conta ao resolver o sistema, sem correspondência com os pontos (4,3) e (5,0).
CVem de um erro no cálculo de a (por exemplo, a=-1/4), que não satisfaz o ponto (4,3).
EValor muito alto, obtido ao errar a razão entre os termos, como 25\cdot 3 sem dividir por 9/3.

Assunto: Função quadrática.

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Questão 168 no caderno Azul do ENEM 2017

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