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PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 167 do ENEM 2017

2º dia · Matemática · H12 · Matemática: Esfera

Para decorar uma mesa de festa infantil, um chefe de cozinha usará um melão esférico com diâmetro medindo 10 cm, o qual servirá de suporte para espetar diversos doces. Ele irá retirar uma calota esférica do melão, conforme ilustra a figura, e, para garantir a estabilidade deste suporte, dificultando que o melão role sobre a mesa, o chefe fará o corte de modo que o raio r da seção circular de corte seja de pelo menos 3 cm. Por outro lado, o chefe desejará dispor da maior área possível da região em que serão afixados os doces.

Esquema de um melão esférico de centro O seccionado horizontalmente por um plano que define uma calota na parte inferior. O corte tem centro A e raio r (segmento AB), perpendicular ao diâmetro vertical que passa por O. Uma linha tracejada liga O ao ponto B na borda da seção circular. Três setas apontam para as regiões: "Região onde serão afixados os doces" (porção superior da esfera), "A parte hachurada será apoiada na mesa" (o círculo de centro A e raio r) e "Calota a ser cortada e eliminada" (calota esférica inferior). À esquerda da calota, uma linha vertical com setas nas duas pontas indica a altura h da calota cortada.

Para atingir todos os seus objetivos, o chefe deverá cortar a calota do melão numa altura h, em centímetro, igual a

  1. A
    5 - \dfrac{\sqrt{91}}{2}
  2. B
    10 - \sqrt{91}
  3. C
    1
  4. D
    4
  5. E
    5
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Resolução comentada

O melão tem diâmetro 10 cm, então o raio da esfera é R = 5 cm. O triângulo OAB é retângulo em A, com OB = R = 5, AB = r e OA = d, a distância do centro ao plano de corte.

A região dos doces é a superfície esférica que sobra, e sua área é a da esfera menos a da calota cortada, que vale 2\pi R h. Para a área dos doces ser a maior possível, a calota deve ser a menor possível, ou seja, h mínimo.

A altura da calota é h = R - d. Logo, h é mínimo quando d é máximo, o que ocorre quando r é mínimo, pois d^2 = R^2 - r^2. A exigência de estabilidade dá r \geq 3, então tomamos r = 3.

  1. Pitágoras em OAB: d^2 + r^2 = R^2
  2. d^2 + 3^2 = 5^2
  3. d^2 = 25 - 9 = 16, portanto d = 4 cm
  4. h = R - d = 5 - 4 = 1 cm

O corte deve ter altura de 1 cm, com seção de raio 3 cm (o menor permitido) e a menor calota possível.

Alternativa C.

Pegadinha: A alternativa D engana porque 4 aparece no cálculo como a distância OA, mas a altura da calota é 5-4=1.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • AResulta de uma conta errada com \sqrt{91}, que não vem do triângulo 3-4-5 formado por r=3, d e R=5.
  • BUsa 10 (o diâmetro) no lugar do raio e obtém \sqrt{91}, valor sem relação com r=3 e R=5.
  • DToma h = d = 4, que é a distância do centro ao plano, e esquece que h = R - d.
  • Eh=5 seria um corte pelo centro, com r=5; a calota seria maior e sobraria menos área para os doces.

Assuntos: Esfera, Teorema de Pitágoras e relações métricas.

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