Questão 166 do ENEM 2017

Question

Um cientista, em seus estudos para modelar a pressão arterial de uma pessoa, utiliza uma função do tipo P(t) = A + B\cos(kt) em que A, B e K são constantes reais positivas e t representa a variável tempo, medida em segundo. Considere que um batimento cardíaco representa o intervalo de tempo entre duas sucessivas pressões máximas.

Ao analisar um caso específico, o cientista obteve os dados:

Pressão mínima	78
Pressão máxima	120
Número de batimentos cardíacos por minuto	90

A função P(t) obtida, por este cientista, ao analisar o caso específico foi

A
P(t) = 99 + 21\cos(3\pi t)
B
P(t) = 78 + 42\cos(3\pi t)
C
P(t) = 99 + 21\cos(2\pi t)
D
P(t) = 99 + 21\cos(t)
E
P(t) = 78 + 42\cos(t)

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 166 do ENEM 2017

2º dia · Matemática · H19 · Matemática: Ciclo trigonométrico e funções trigonométricas

Um cientista, em seus estudos para modelar a pressão arterial de uma pessoa, utiliza uma função do tipo P(t) = A + B\cos(kt) em que A, B e K são constantes reais positivas e t representa a variável tempo, medida em segundo. Considere que um batimento cardíaco representa o intervalo de tempo entre duas sucessivas pressões máximas.

Ao analisar um caso específico, o cientista obteve os dados:

Pressão mínima	78
Pressão máxima	120
Número de batimentos cardíacos por minuto	90

A função P(t) obtida, por este cientista, ao analisar o caso específico foi

A
P(t) = 99 + 21\cos(3\pi t)
B
P(t) = 78 + 42\cos(3\pi t)
C
P(t) = 99 + 21\cos(2\pi t)
D
P(t) = 99 + 21\cos(t)
E
P(t) = 78 + 42\cos(t)

Escolha uma alternativa para conferir o gabarito.

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Resolução comentada

A função P(t)=A+B\cos(kt) oscila entre A-B (mínimo) e A+B (máximo), pois o cosseno varia de -1 a 1.

Passo 1: achar A e B.

A+B=120
A-B=78

Somando: 2A=198, logo A=99. Subtraindo: 2B=42, logo B=21.

Passo 2: achar k. Um batimento é o intervalo entre duas pressões máximas, ou seja, um período da função. Com 90 batimentos por minuto, em 60 s temos 90 períodos:

T=\frac{60}{90}=\frac{2}{3}\ \text{s}

O período de \cos(kt) é T=\dfrac{2\pi}{k}. Então:

k=\frac{2\pi}{T}=\frac{2\pi}{2/3}=3\pi

Logo, P(t)=99+21\cos(3\pi t).

Alternativa A.

Por que as outras alternativas estão erradas

Btoma A como a pressão mínima e B como a diferença entre máxima e mínima, o que não faz o máximo ser 120 e o mínimo ser 78.
Cusa k=2\pi, que corresponde a período de 1 s (60 batimentos por minuto), ignorando os 90 batimentos.
Dusa k=1, ignorando a frequência cardíaca; o período seria 2\pi s.
Eerra A e B e ainda ignora a frequência, com k=1.

Assunto: Ciclo trigonométrico e funções trigonométricas.

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Questão 166 no caderno Azul do ENEM 2017

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