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PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 156 do ENEM 2017

2º dia · Matemática · H9 · Matemática: Lei dos senos e lei dos cossenos

Uma desenhista projetista deverá desenhar uma tampa de panela em forma circular. Para realizar esse desenho, ela dispõe, no momento, de apenas um compasso, cujo comprimento das hastes é de 10 cm, um transferidor e uma folha de papel com um plano cartesiano. Para esboçar o desenho dessa tampa, ela afastou as hastes do compasso de forma que o ângulo formado por elas fosse de 120^\circ. A ponta seca está representada pelo ponto C, a ponta do grafite está representada pelo ponto B e a cabeça do compasso está representada pelo ponto A conforme a figura.

Compasso apoiado em um plano cartesiano, com vértice A formando ângulo de 120° entre as hastes de mesmo comprimento, ponta seca no ponto C(3, 1) que é o centro de uma circunferência, e ponta do grafite no ponto B sobre a circunferência

Após concluir o desenho, ela o encaminha para o setor de produção. Ao receber o desenho com a indicação do raio da tampa, verificará em qual intervalo este se encontra e decidirá o tipo de material a ser utilizado na sua fabricação, de acordo com os dados.

Tipo de material Intervalo de valores do raio (cm)
I 0 < \text{R} \le 5
II 5 < \text{R} \le 10
III 10 < \text{R} \le 15
IV 15 < \text{R} \le 21
V 21 < \text{R} \le 40

Considere 1,7 como aproximação para \sqrt{3} .

O tipo de material a ser utilizado pelo setor de produção será

  1. A
    I.
  2. B
    II.
  3. C
    III.
  4. D
    IV.
  5. E
    V.
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Resolução comentada

O compasso forma o triângulo ABC, com AB = AC = 10\ \text{cm} (as hastes) e ângulo de 120^\circ em A. O raio da circunferência é o segmento CB, que é o terceiro lado desse triângulo.\n\nComo o triângulo é isósceles, os outros dois ângulos medem 30^\circ cada, pois (180^\circ - 120^\circ)/2 = 30^\circ.\n\nUsamos a lei dos cossenos para o lado CB = R, oposto ao ângulo de 120^\circ:\n\n1. R^2 = 10^2 + 10^2 - 2\cdot 10\cdot 10\cdot \cos 120^\circ\n2. Como \cos 120^\circ = -\dfrac{1}{2}: R^2 = 100 + 100 + 100 = 300\n3. R = \sqrt{300} = 10\sqrt{3}\n4. Com \sqrt{3} \approx 1{,}7: R \approx 10 \cdot 1{,}7 = 17\ \text{cm}\n\nO valor 17 está no intervalo 15 < R \le 21, que corresponde ao material do tipo IV.\n\nAs coordenadas do centro C(3,1) não são necessárias para o cálculo do raio.\n\nAlternativa D.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • AO raio de 17 cm está muito acima do limite de 5 cm; esse valor não sai de nenhum cálculo correto.
  • BUsar o raio como 10 cm (o comprimento da haste) ignora o ângulo de 120°; o raio é o terceiro lado do triângulo.
  • CDaria raio entre 10 e 15, como 5\sqrt{3}\approx 8{,}5 ou erros na lei dos cossenos; o correto é 10\sqrt{3}\approx17.
  • EExigiria raio acima de 21 cm, por exemplo somando as hastes (20) ou errando o sinal do cosseno.

Assuntos: Lei dos senos e lei dos cossenos, Triângulos: congruência e pontos notáveis.

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