Questão 143 do ENEM 2017

Question

Um brinquedo infantil caminhão-cegonha é formado por uma carreta e dez carrinhos nela transportados, conforme a figura.

Desenho esquemático de um caminhão-cegonha transportando dez carrinhos em três níveis: quatro na parte superior, três na plataforma intermediária e três na plataforma inferior.

No setor de produção da empresa que fabrica esse brinquedo, é feita a pintura de todos os carrinhos para que o aspecto do brinquedo fique mais atraente. São utilizadas as cores amarelo, branco, laranja e verde, e cada carrinho é pintado apenas com uma cor. O caminhão-cegonha tem uma cor fixa. A empresa determinou que em todo caminhão-cegonha deve haver pelo menos um carrinho de cada uma das quatro cores disponíveis. Mudança de posição dos carrinhos no caminhão-cegonha não gera um novo modelo do brinquedo.

Com base nessas informações, quantos são os modelos distintos do brinquedo caminhão-cegonha que essa empresa poderá produzir?

A
C_{6,4}
B
C_{9,3}
C
C_{10,4}
D
6^4
E
4^6

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 143 do ENEM 2017

2º dia · Matemática · H2 · Matemática: Combinações e binômio de Newton

Um brinquedo infantil caminhão-cegonha é formado por uma carreta e dez carrinhos nela transportados, conforme a figura.

Desenho esquemático de um caminhão-cegonha transportando dez carrinhos em três níveis: quatro na parte superior, três na plataforma intermediária e três na plataforma inferior.

No setor de produção da empresa que fabrica esse brinquedo, é feita a pintura de todos os carrinhos para que o aspecto do brinquedo fique mais atraente. São utilizadas as cores amarelo, branco, laranja e verde, e cada carrinho é pintado apenas com uma cor. O caminhão-cegonha tem uma cor fixa. A empresa determinou que em todo caminhão-cegonha deve haver pelo menos um carrinho de cada uma das quatro cores disponíveis. Mudança de posição dos carrinhos no caminhão-cegonha não gera um novo modelo do brinquedo.

Com base nessas informações, quantos são os modelos distintos do brinquedo caminhão-cegonha que essa empresa poderá produzir?

A
C_{6,4}
B
C_{9,3}
C
C_{10,4}
D
6^4
E
4^6

Escolha uma alternativa para conferir o gabarito.

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Resolução comentada

Como a posição dos carrinhos não importa, o modelo depende só de quantos carrinhos há de cada cor. Chamando de a, b, c, d as quantidades de amarelo, branco, laranja e verde, queremos contar as soluções de

a+b+c+d=10,\quad a,b,c,d\ge 1.

Cada cor precisa aparecer pelo menos uma vez, então já reservamos 1 carrinho de cada cor. Sobram 10-4=6 carrinhos para distribuir livremente entre as 4 cores. Fazendo a'=a-1 etc., temos

a'+b'+c'+d'=6,\quad a',b',c',d'\ge 0.

O número de soluções inteiras não negativas de x_1+\dots+x_k=n é C_{n+k-1,\,k-1}. Aqui n=6 e k=4:

C_{6+4-1,\,3}=C_{9,3}.

Outra forma de ver: 6 carrinhos (bolinhas) separados por 3 divisórias formam 9 objetos em fila, e escolhemos 3 posições para as divisórias, o que dá C_{9,3}.

Alternativa B.

Por que as outras alternativas estão erradas

Ausa C_{6,4}, esquecendo de somar as divisórias: o correto é C_{6+3,3}.
Cescolhe 4 dos 10 carrinhos, sem contar distribuições de quantidades por cor.
Dnão tem justificativa combinatória para este problema de contagem por quantidade de cada cor.
Econta colorações com posição importando (e sem a restrição de usar as quatro cores), mas o enunciado diz que a posição não gera novo modelo.

Assunto: Combinações e binômio de Newton.

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Questão 143 no caderno Azul do ENEM 2017

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