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PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 142 do ENEM 2017

2º dia · Matemática · H13 · Matemática: Prismas e paralelepípedos

Um casal realiza sua mudança de domicílio e necessita colocar numa caixa de papelão um objeto cúbico, de 80 cm de aresta, que não pode ser desmontado. Eles têm à disposição cinco caixas, com diferentes dimensões, conforme descrito:

  • Caixa 1: 86\text{ cm} \times 86\text{ cm} \times 86\text{ cm}
  • Caixa 2: 75\text{ cm} \times 82\text{ cm} \times 90\text{ cm}
  • Caixa 3: 85\text{ cm} \times 82\text{ cm} \times 90\text{ cm}
  • Caixa 4: 82\text{ cm} \times 95\text{ cm} \times 82\text{ cm}
  • Caixa 5: 80\text{ cm} \times 95\text{ cm} \times 85\text{ cm}

O casal precisa escolher uma caixa na qual o objeto caiba, de modo que sobre o menor espaço livre em seu interior.

A caixa escolhida pelo casal deve ser a de número

  1. A
    1.
  2. B
    2.
  3. C
    3.
  4. D
    4.
  5. E
    5.
Escolha uma alternativa para conferir o gabarito.
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Resolução comentada

Para o cubo de 80 cm de aresta caber, as três dimensões da caixa precisam ser de, no mínimo, 80 cm. Depois, entre as que servem, o menor espaço livre é o da caixa de menor volume, pois o volume do objeto é o mesmo.

Passo 1: quais caixas comportam o cubo

  • Caixa 1: 86, 86, 86, todas maiores que 80. Serve.
  • Caixa 2: tem 75 cm, menor que 80. Não serve.
  • Caixa 3: 85, 82, 90. Serve.
  • Caixa 4: 82, 95, 82. Serve.
  • Caixa 5: 80, 95, 85. Serve, pois 80 cm cabe exatamente.

Passo 2: volumes das caixas que servem

  1. Caixa 1: 86^3 = 636\,056\ \text{cm}^3 (pois 86\cdot 86 = 7\,396 e 7\,396\cdot 86 = 636\,056).
  2. Caixa 3: 85\cdot 82\cdot 90 = 6\,970\cdot 90 = 627\,300\ \text{cm}^3.
  3. Caixa 4: 82\cdot 95\cdot 82 = 6\,724\cdot 95 = 638\,780\ \text{cm}^3.
  4. Caixa 5: 80\cdot 95\cdot 85 = 7\,600\cdot 85 = 646\,000\ \text{cm}^3.

Passo 3: comparação

O menor volume entre as que servem é o da caixa 3, com 627\,300\ \text{cm}^3. O espaço livre é o volume da caixa menos 80^3 = 512\,000\ \text{cm}^3, ou seja, 115\,300\ \text{cm}^3, o menor entre as opções válidas.

Alternativa C.

Pegadinha: A caixa 2 tem o menor volume de todas, mas não serve, pois uma dimensão (75 cm) é menor que 80 cm; a caixa 5 tem uma medida exata de 80 cm, o que induz a escolhê-la, mas seu volume é o maior.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • AA caixa cúbica de 86 cm parece a mais ajustada, mas seu volume (636 056 cm³) é maior que o da caixa 3.
  • BTem uma dimensão de 75 cm, menor que a aresta do cubo, então o objeto não cabe.
  • DComporta o cubo, mas seu volume (638 780 cm³) é maior que o da caixa 3.
  • EComporta o cubo, mas tem o maior volume (646 000 cm³), logo sobra mais espaço livre.

Assunto: Prismas e paralelepípedos.

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