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PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 140 do ENEM 2017

2º dia · Matemática · H12 · Matemática: Áreas e perímetros de polígonos

Um garçom precisa escolher uma bandeja de base retangular para servir quatro taças de espumante que precisam ser dispostas em uma única fileira, paralela ao lado maior da bandeja, e com suas bases totalmente apoiadas na bandeja. A base e a borda superior das taças são círculos de raio 4\text{ cm} e 5\text{ cm}, respectivamente.

Taça de espumante com bojo largo e base circular apoiada

A bandeja a ser escolhida deverá ter uma área mínima, em centímetro quadrado, igual a

  1. A
    192.
  2. B
    300.
  3. C
    304.
  4. D
    320.
  5. E
    400.
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Resolução comentada

As bases precisam ficar inteiramente apoiadas na bandeja, mas as bordas superiores das taças podem ultrapassar suas extremidades. Por isso, a menor largura possível da bandeja é o diâmetro de uma base: 2\cdot 4=8\ \text{cm}.

Ao longo da fileira, as bordas superiores de duas taças vizinhas não podem se sobrepor. Como o raio dessas bordas é 5\ \text{cm}, a distância mínima entre os centros de taças consecutivas é 5+5=10\ \text{cm}. Entre os centros das quatro taças há três intervalos, que ocupam 3\cdot 10=30\ \text{cm}.

Para que as bases das taças das pontas também fiquem totalmente apoiadas, é preciso acrescentar 4\ \text{cm} em cada extremidade da bandeja. Assim, seu comprimento mínimo é 4+30+4=38\ \text{cm}, e a área mínima vale

A=38\cdot 8=304\ \text{cm}^2.

Note que usar o diâmetro da borda superior como largura aumentaria a área sem necessidade: a exigência de apoio vale para as bases. Alternativa C.

Pegadinha: A alternativa E engana quem exige que a borda superior, e não apenas a base, fique dentro da bandeja.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • ASubestima o comprimento necessário para acomodar as quatro taças sem sobrepor as bordas superiores.
  • BUsa os 30\ \text{cm} entre os centros como comprimento total e toma a largura pela borda superior.
  • DAcrescenta espaço nas extremidades além do necessário para apoiar as bases.
  • EConsidera que as bordas superiores também precisam ficar inteiramente dentro da bandeja.

Assunto: Áreas e perímetros de polígonos.

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