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PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 137 do ENEM 2017

2º dia · Matemática · H23 · Matemática: Logaritmos e função logarítmica

Para realizar a viagem dos sonhos, uma pessoa precisava fazer um empréstimo no valor de R$ 5 000,00. Para pagar as prestações, dispõe de, no máximo, R$ 400,00 mensais. Para esse valor de empréstimo, o valor da prestação (P) é calculado em função do número de prestações (n) segundo a fórmula

P = \frac{5\ 000 \times 1{,}013^n \times 0{,}013}{(1{,}013^n - 1)}

Se necessário, utilize 0,005 como aproximação para \log 1{,}013; 2,602 como aproximação para \log 400; 2,525 como aproximação para \log 335.

De acordo com a fórmula dada, o menor número de parcelas cujos valores não comprometem o limite definido pela pessoa é

  1. A
    12.
  2. B
    14.
  3. C
    15.
  4. D
    16.
  5. E
    17.
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Resolução comentada

Queremos P \le 400. Vamos chamar x = 1{,}013^n e resolver a inequação.

  1. Substituindo na fórmula: \dfrac{65x}{x-1} \le 400, pois 5\,000 \times 0{,}013 = 65.
  2. Como x>1, x-1 é positivo e podemos multiplicar sem inverter o sinal: 65x \le 400x - 400.
  3. Isolando: 400 \le 335x, ou seja, x \ge \dfrac{400}{335}.
  4. Então 1{,}013^n \ge \dfrac{400}{335}.
  5. Aplicando log nos dois lados (a base 10 é crescente, o sentido se mantém): n\cdot\log 1{,}013 \ge \log 400 - \log 335.
  6. Com os valores dados: n \cdot 0{,}005 \ge 2{,}602 - 2{,}525 = 0{,}077.
  7. Logo n \ge \dfrac{0{,}077}{0{,}005} = 15{,}4.

Como n é inteiro, o menor valor é n = 16. Com 15 parcelas a prestação passaria de R$ 400,00.

Alternativa D.

Pegadinha: A alternativa C engana quem arredonda 15,4 para 15; como n precisa ser no mínimo 15,4, o menor inteiro é 16.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • AValor sem relação com o resultado; ignora que n \ge 15{,}4.
  • BEstá abaixo de 15,4, então a prestação ultrapassa R$ 400,00.
  • CArredonda 15,4 para baixo; com 15 parcelas a prestação ainda excede o limite.
  • EAtende ao limite, mas não é o menor número de parcelas.

Assuntos: Logaritmos e função logarítmica, Juros simples e compostos, Inequações e desigualdades.

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Nos cadernos: Amarelo 145Cinza 154Azul 137Rosa 141