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PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 136 do ENEM 2017

2º dia · Matemática · H19 · Matemática: Juros simples e compostos

Um empréstimo foi feito à taxa mensal de i\%, usando juros compostos, em oito parcelas fixas e iguais a P.

O devedor tem a possibilidade de quitar a dívida antecipadamente a qualquer momento, pagando para isso o valor atual das parcelas ainda a pagar. Após pagar a 5a parcela, resolve quitar a dívida no ato de pagar a 6a parcela.

A expressão que corresponde ao valor total pago pela quitação do empréstimo é

  1. A
    P \left[ 1 + \dfrac{1}{\left(1 + \dfrac{i}{100}\right)} + \dfrac{1}{\left(1 + \dfrac{i}{100}\right)^2} \right]
  2. B
    P \left[ 1 + \dfrac{1}{\left(1 + \dfrac{i}{100}\right)} + \dfrac{1}{\left(1 + \dfrac{2i}{100}\right)} \right]
  3. C
    P \left[ 1 + \dfrac{1}{\left(1 + \dfrac{i}{100}\right)^2} + \dfrac{1}{\left(1 + \dfrac{i}{100}\right)^2} \right]
  4. D
    P \left[ \dfrac{1}{\left(1 + \dfrac{i}{100}\right)} + \dfrac{1}{\left(1 + \dfrac{2i}{100}\right)} + \dfrac{1}{\left(1 + \dfrac{3i}{100}\right)} \right]
  5. E
    P \left[ \dfrac{1}{\left(1 + \dfrac{i}{100}\right)} + \dfrac{1}{\left(1 + \dfrac{i}{100}\right)^2} + \dfrac{1}{\left(1 + \dfrac{i}{100}\right)^3} \right]
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Resolução comentada

Quitar antecipadamente significa pagar o valor atual das parcelas que faltam, isto é, trazer cada parcela futura para a data do pagamento, dividindo por (1+i/100) elevado ao número de meses de antecipação.

Seja r = 1+\dfrac{i}{100}.

As parcelas 1 a 5 já foram pagas. A quitação ocorre no dia de pagar a 6ª parcela, então restam a 6ª, a 7ª e a 8ª.

  1. A 6ª parcela vence na própria data da quitação: não há antecipação, e ela vale P.
  2. A 7ª parcela vence 1 mês depois: valor atual \dfrac{P}{r}.
  3. A 8ª parcela vence 2 meses depois: valor atual \dfrac{P}{r^2}.

Somando:

P\left[1+\dfrac{1}{\left(1+\frac{i}{100}\right)}+\dfrac{1}{\left(1+\frac{i}{100}\right)^2}\right]

Como os juros são compostos, o desconto usa potência de r (e não múltiplos de i, que seriam juros simples).

Alternativa A.

Pegadinha: A alternativa E engana quem esquece que a 6ª parcela é paga no próprio dia e não sofre desconto; a B e a D trocam juros compostos por simples.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • Busa 1+2i/100 (juros simples) para a 8ª parcela, mas o regime é composto.
  • Cdesconta a 7ª parcela por dois meses, repetindo o fator ao quadrado.
  • Ddesconta a 6ª parcela, que vence no dia da quitação, e usa juros simples.
  • Edesconta a 6ª parcela e antecipa as demais um mês a mais do que deveria.

Assunto: Juros simples e compostos.

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